Enunciado

Um canhão de brinquedo usa uma mola para projetar uma bola de borracha macia de 5,30 g. A mola é comprimida por 5,00 cm e tem força constante de 8,00 N/m originalmente. Quando o canhão é disparado, a bola se move 15,0 cm pelo cano horizontal do canhão, e esse exerce uma força de atrito constante de 0,0320 N sobre a bola. (a) Com que velocidade a bola sai do cano do canhão? (b) Em que ponto a bola tem velocidade máxima? (c) Qual é essa velocidade máxima?

Passo 1

(a)Gente, se a gente é informado sobre o atrito envolvido entre a bola e o cano do canhão, é porque parte da energia potencial elástica da mola, que se transforma em energia cinética pra bola, se perde pro trabalho da força de atrito.

Matematicamente, a gente escreve assim:

U e m o l a - W a t = K ( b o l a )

E as formulinhas, que a gente já viu ao longo de outros exercícios desse capítulo, vão ser:

k ∙ ∆ x 2 2 - F a t ∙ d = m ∙ v 2 2

Certinho? Isso, como dito no enunciado, considerando o cano do canhão na horizontal.

A gente tem todos os dados que precisa pra determinar a velocidade v da bola logo após sair da boca do canhão. Vamos aplicar, observando as unidades sempre, e determinar v , assim:

8,00 ∙ 0,05 2 2 - 0,0320 ∙ 0,015 = 0,00530 ∙ v 2 2

Vamos multiplicar todos os termos da igualdade por 2 pra sumir com os denominadores e, em seguida, isolamos v :

8,00 ∙ 0,05 2 - 2 ∙ 0,0320 ∙ 0,015 = 0,00530 ∙ v 2

v 2 = 8,00 ∙ 0,05 2 - 2 ∙ 0,0320 ∙ 0,015 0,00530

Jogando esse monstro na calculadora, a gente obtém, por fim:

v 2 ≅ 3,592

v = 3,592 ≅ 1,90   m / s

Passo 2

(b)Qualquer objeto quando comprimido por uma mola, assim que liberado do repouso, adquire velocidade máxima exatamente quando a mola retorna à posição relaxada original.

Nesse ponto, e nesse instante, toda a energia potencial elástica se converte completamente em energia cinética pro objeto.

No nosso caso, a bola adquiriu toda essa energia cinética, então, quando a mola retornou 5,00   c m à posição inicial, mas foi perdendo essa energia – e portanto, perdendo velocidade – ao longo do percurso dentro do cano, já que foi atritando com o mesmo.

Com isso, considerando que a posição inicial da mola, quando comprimida, era x = - 5,00   c m , a bola adquire velocidade máxima justamente quando a mola retorna a x = 0,00   c m , sua posição original relaxada.

Passo 3

(c)Como saber essa velocidade?

Só fazer a mesma coisa que no Passo 1, mas sem contar com o atrito, já que foi no exato instante em que a bola adquiriu 100% da energia potencial elástica da bola, transformada em cinética, pra mesma.

A gente teria:

U e m o l a = K ( b o l a )

k ∙ ∆ x 2 2 = m ∙ v 2 2

Simplificamos os denominadores, que são iguais, e isolamos v :

k ∙ ∆ x 2 = m ∙ v 2

v 2 = k ∙ ∆ x 2 m

Aplicando os dados, a gente vai ter:

v 2 = 8,00 ∙ 0,05 2 0,00530 ≈ 3,77

v = 3,77 ≅ 1,94   m / s

Repara que de fato essa velocidade é maior que a calculada no Passo 1, que foi com a qual a bola abandonou o canhão.

Resposta

(a) v = 1,90   m / s

(b)Vide Passo 2

(c) v = 1,94   m / s

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