Obtenha a equação ( 11-52) pelo caminho seguinte. Faça x = 𝞮 k T e mostre que

E = 2 π k T V ( 2 m k T ) 3 / 2 h 3   ∫ 0 ∞   x 3 / 2   d x e α + x - 1 = 3 2 k T   V ( 2 π m k T ) 3 / 2 h 3 e α [ 1 + ( 1 / 2 5 / 2 ) e - α + ⋯ ]

Passo 1

Bem, esse problema exige que façamos algumas passagens do livro. Vamos sair da 11-46 e chegar na 11-52.

A equação 11-46 é dada por

n ( 𝞮 ) = 1 e α e 𝞮 / k T - 1 = 1 e α e x - 1

vamos iniciar com essa equação e aplicar a relação do número de partículas dado pela equação

N ' = ∫ 0 ∞ n ( 𝞮 ) N ( 𝞮 ) d 𝞮  

N ' = ∫ 0 ∞ γ   N ( x γ ) d x e α e x - 1

Essa relação de N surge quando fazemos a substituição exigida pelo problema:

x   =   𝞮 k T   → 𝞮 = x k T   → d 𝞮 = k T d x ;   o n d e   f i z e m o s   k T = γ .

Seguindo os passos do livro, iremos usar o resultado da energia para um poço potencial em três dimensões e usar a seguinte analogia dada pelo livro na equação 11-48

𝞮 = h 2 8 m a 2 ( n x 2 + n y 2 + n z 2 )

onde r 2 = n x ² + n y ² + n z ² , assim

x γ = h ² 8 m a ² r ² → r ² = x γ 8 m a ² / h ² , uma das relações do livro usa

N ( r ) = π   r ²   d r 2 ,

vamos precisar montar uma relação com r e dr, portanto.

Seja r = ( x γ   8 m a ² / h ² ) 1 / 2 ;   d r = 8 m γ   a 2 h ( 8 m x γ ) - 1 / 2   dr foi encontrado através da cadeia. Agora iremos usar as duas equações para chegarmos a uma única expressão para N ( x γ ) .

Passo 2

Nossa equação para N ( x γ ) será dada na forma:

N ( x γ ) = π   r ²   d r 2 = π 2 ( x γ 8 m a ² h ² ) ( 8 m a γ 2 h ) ( 8 m γ x ) - 1 / 2 d x

= π   a ³ 4 h ³ ( 8 m γ ) 2 ( 8 m γ ) - 1 / 2 x ⋅ x - 1 / 2 d x

= π a ³ 4 h ³ ( 8 m γ ) 3 / 2 x 1 / 2 d x

a ³ = V representa o volume da caixa referente ao potencial em três dimensões. Assim rearranjando os termos nós teremos

N ( x γ ) = π V h ³ ( 2 - 2 ⋅ 2 9 / 2 ) ( m γ ) 3 / 2 x 1 / 2 d x

N ( x γ ) = 2 π V   ( 2   m k T ) 3 / 2 x 1 / 2 d x h ³

Aqui foram feitas algumas operações com potências para que pudéssemos deixar na forma que o livro expõe. Agora iremos substituir este “N” naquela nossa equação que se encontra no passo 1 para N’ que está na forma de integral.

N ' = ∫ 0 ∞ γ N ( x γ ) d x e α e x - 1 = 2 π k T V   ( 2   m k T ) 3 / 2 h ³ ∫ 0 ∞ x 1 / 2 d x e α + x - 1

A solução desta integral foi encontrada no wolfram alpha. Mais a frente explicarei o porquê dele assumir uma expansão em série para chegar nessa resposta para o número de partículas do sistema.

Passo 3

A resposta para N’ tem a forma

N ' = 2 π V   ( 2   m k T ) h ³ e - α ( 1 + 1 2 3 / 2 e - α + ⋯ )

A qual a resposta para esta integral tem a forma

∫ 0 ∞   x 1 / 2 d x e α + x - 1 = 1 2 x   L i 3 / 2 ( e - α )

Esta integral é uma integral não definida (onde sua resposta não é um valor exato) esse termo Li representa uma série de polinômios. Uma boa tabela de integrais pode entregar a vocês essa série. Este resultado será utilizado mais a frente para que possamos encontrar a resposta do problema. Agora calculando a energia para um gás ideal nossa expressão passa a ter a forma

E = ∫ 0 ∞ 𝞮 n ( 𝞮 ) N ( 𝞮 ) d 𝞮   → ∫ 0 ∞ x n k T ( x k T ) N ( x k T ) d x

E = 2 π V k T   ( 2   m k T ) 3 / 2 h ³ ∫ 0 ∞ x 3 / 2 d x e α + x - 1 = 3 2 k T   V ( 2 π m k T ) 3 / 2 h ³ e - α ( 1 + 1 2 5 / 2 e - α + ⋯ )

O mesmo caso aqui mas a nossa integral tem o termo x 3 / 2 pois quando inserimos nossa equação de N para a integral em termos de um outro x, ficamos com x 1 + 1 / 2 = x 3 / 2 . Assim a integral passa a ter a solução com a mesma cara de antes:

∫ 0 ∞   x 3 / 2 d x e α + x - 1 = 3 4 x   L i 5 / 2 ( e - α )

E nossa resposta tem a forma dada acima para a energia E.

Resposta

Após todo o processo nossa resposta tem a forma: E = 2 π V k T   ( 2   m k T ) 3 / 2 h ³ ∫ 0 ∞ x 3 / 2 d x e α + x - 1 = 3 2 k T   V ( 2 π m k T ) 3 / 2 h ³ e - α ( 1 + 1 2 5 / 2 e - α + ⋯ )

Como queriamos mostrar!

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