Obtenha a equação ( 11-52) pelo caminho seguinte. Faça e mostre que
Passo 1
Bem, esse problema exige que façamos algumas passagens do livro. Vamos sair da 11-46 e chegar na 11-52.
A equação 11-46 é dada por
vamos iniciar com essa equação e aplicar a relação do número de partículas dado pela equação
Essa relação de N surge quando fazemos a substituição exigida pelo problema:
Seguindo os passos do livro, iremos usar o resultado da energia para um poço potencial em três dimensões e usar a seguinte analogia dada pelo livro na equação 11-48
onde , assim
, uma das relações do livro usa
,
vamos precisar montar uma relação com r e dr, portanto.
Seja dr foi encontrado através da cadeia. Agora iremos usar as duas equações para chegarmos a uma única expressão para .
Passo 2
Nossa equação para será dada na forma:
representa o volume da caixa referente ao potencial em três dimensões. Assim rearranjando os termos nós teremos
Aqui foram feitas algumas operações com potências para que pudéssemos deixar na forma que o livro expõe. Agora iremos substituir este “N” naquela nossa equação que se encontra no passo 1 para N’ que está na forma de integral.
A solução desta integral foi encontrada no wolfram alpha. Mais a frente explicarei o porquê dele assumir uma expansão em série para chegar nessa resposta para o número de partículas do sistema.
Passo 3
A resposta para N’ tem a forma
A qual a resposta para esta integral tem a forma
Esta integral é uma integral não definida (onde sua resposta não é um valor exato) esse termo Li representa uma série de polinômios. Uma boa tabela de integrais pode entregar a vocês essa série. Este resultado será utilizado mais a frente para que possamos encontrar a resposta do problema. Agora calculando a energia para um gás ideal nossa expressão passa a ter a forma
O mesmo caso aqui mas a nossa integral tem o termo pois quando inserimos nossa equação de N para a integral em termos de um outro x, ficamos com . Assim a integral passa a ter a solução com a mesma cara de antes:
E nossa resposta tem a forma dada acima para a energia E.
Resposta
Após todo o processo nossa resposta tem a forma:
Como queriamos mostrar!