Enunciado

Uma onda progressiva transversal numa corda longa é descrita pela equação

y = 10 . s e n 90 ° x - 2 t

Sendo y dado em c m , x em m e t em s . Desenhe a configuração da corda até x = 4 m para os instantes t = 0 ,   1 4 T ,   1 2 T e T . Determine a amplitude, a velocidade, o período e a frequência da onda.

Passo 1

E aíiíí cara! Vamos pra mais uma de ondas

Temos a equação de onda:

y = 10 . s e n 90 ° x - 2 t

Mas pera pera pera, antes de qualquer coisa, vamos ajustar essa equação. Pra isso, vamos transformar o 90 ° em radianos. Sabemos que 90 ° = π 2 r a d , certo? Então:

y = 10 . s e n π 2 x - 2 t

y = 10 . s e n π 2 x - 2 π 2 t

y = 10 . s e n π 2 x - π t

Agora sim ficou mais simples de compararmos essa equação com a equação geral de onda:

y = y m . s e n ( k x - ω t )

Comparando, já temos:

y m = 10

k = π 2

ω = π

Vamos lá responder as perguntas

Passo 2

Antes de tudinho, vamos encontrar a frequência e o período da onda. Sabemos que

ω = 2 π f

Mas vimos lá no passo 1 que ω = π , então:

π = 2 π f

f = π 2 π

f = 0,5   H z

Dessa forma, o nosso período é:

T = 1 f = 1 0,5 = 2   s

Passo 3

Agora vamos encontrar o comprimento de onda e a velocidade

No passo 1, vimos que k = π 2 , mas sabemos que:

k = 2 π λ

Então

π 2 = 2 π λ

λ = 2 π π 2

λ = 4   m

Mas sabemos que

v = λ . f

Então

v = 4.0,5

v = 2   m / s

Fechou, encontramos nossas principais informações sobre essa ondinha

Passo 4

Queremos desenhar a onda até x = 4 m para os instantes t = 0 ,   1 4 T ,   1 2 T e T

Como T = 2 s , então queremos desenhar para t = 0 , 1 2 ,   1   e   2   s

Pera, vamos entender melhor: essa onda está se movendo com velocidade de 2 m / s , então quando o tempo vai mudando, a configuração da onda também vai mudando, sacou? E aí vamos desenhar essa configuração pra 4 valores diferentes de tempo. Bora lá!

S e   t = 0

y = 10 . s e n π 2 x - π . 0

y = 10 . s e n π 2 x

Então, para t = 0 vamos ter uma onda de amplitude 10 e tal que as intersecções com os eixos são:

s e n π 2 x = 0

π 2 x = a r c s e n ( 0 )

π 2 x = k π ,   k   i n t e i r o

x = 2 k ,   k   i n t e i r o

Então, em t = 0 , a onda só vai ter y = 0 para valores pares de x , assim:

Passo 5

S e   t = 1 2 = 0,5   s

y = 10 . s e n π 2 x - π . 0 , 5

y = 10 . s e n π 2 x - π 2

Então, para t = 0 , 5   s vamos ter uma onda de amplitude 10 e tal que as intersecções com os eixos são:

s e n π 2 x - π 2 = 0

π 2 x - π 2 = a r c s e n ( 0 )

π 2 x - π 2 = k π ,   k   i n t e i r o

π 2 x = π . k + 1 2 ,   k   i n t e i r o

x = 2 k + 1 2 ,   k   i n t e i r o

x = 2 k + 1 ,   k   i n t e i r o

Então, em t = 0 , 5 , a onda só vai ter y = 0 para valores ímpares de x , assim: (repara que só deslocamos a onda do passo anterior em π 2 para a direita)

Passo 6

S e   t = 1   s

y = 10 . s e n π 2 x - π . 1

y = 10 . s e n π 2 x - π

Então, para t = 1   s vamos ter uma onda de amplitude 10 e tal que as intersecções com os eixos são:

s e n π 2 x - π = 0

π 2 x - π = a r c s e n ( 0 )

π 2 x - π = k π ,   k   i n t e i r o

π 2 x = π . k + 1 ,   k   i n t e i r o

x = 2 k + 1 ,   k   i n t e i r o

x = 2 k + 2 ,   k   i n t e i r o

Então, em t = 1 , a onda só vai ter y = 0 para valores pares de x , assim: (repara que só deslocamos a onda do passo anterior para a direita)

(como 1 s é metade do nosso período, a onda vai ser igual a de 0 s mas ao contrário)

Passo 7

S e   t = 2   s

y = 10 . s e n π 2 x - π . 2

y = 10 . s e n π 2 x - 2 π

Então, para t = 1   s vamos ter uma onda de amplitude 10 e tal que as intersecções com os eixos são:

s e n π 2 x - 2 π = 0

π 2 x - 2 π = a r c s e n ( 0 )

π 2 x - 2 π = k π ,   k   i n t e i r o

π 2 x = π . k + 2 ,   k   i n t e i r o

x = 2 k + 2 ,   k   i n t e i r o

x = 2 k + 4 ,   k   i n t e i r o

Então, em t = 2 , a onda só vai ter y = 0 para valores pares de x , assim: (repara que só deslocamos a onda do passo anterior para a direita)

(como 2 s é nosso período, a onda vai ser igual a de 0 s )

Resposta

f = 0,5   H z

T = 2   s

λ = 4   c m

v = 2   m / s

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