Enunciado

Uma onda transversal senoidal se propaga em uma corda no sentido negativo de um eixo x . A figura mostra um gráfico do deslocamento em função da posição no instante t = 0 ; a escala do eixo y é definida por y s = 4,0   c m . A tensão da corda é 3,6   N e a massa específica linear é 25   g / m . Determine (a) a amplitude, (b) o comprimento de onda, (c) a velocidade da onda e (d) o período da onda. (e) Determine a velocidade transversal máxima de uma partícula da corda. Se a onda é da forma y x , t = y m . sen ⁡ ( k x ± ω t + ϕ ) , determine (f) k , (g) ω , (h) ϕ e (i) o sinal que precede ω

Passo 1

Vamos lá, como o enunciado disse, a função da onda segue essa forma aqui:

y x , t = y m . sen ⁡ ( k x ± ω t + ϕ )

No caso, o gráfico representa esse y em função de x quando t = 0 , ou seja, a função que está representa no gráfico é:

y x , 0 = y m . sen ⁡ ( k x + ϕ )

Vamos ter que analisar o gráfico e essa função pra responder as questões.

Passo 2

(a) A amplitude é simplesmente a altura dos picos da onda (ou dos vales). Em outras palavras, é a distância máxima que a função atinge em relação ao eixo x .

No enunciado, nos foi dado que o y s = 4,0 c m e se repararmos bem no gráfico, o y s ocorre no quarto traço do eixo vertical.

Sendo assim, podemos verificar que cada tracinho na nossa escala vertical irá valer um quarto de y s :

4,0 4 = 1,0 c m

E como a amplitude ocorre no quinto tracinho da escala vertical, nossa amplitude será:

y m = 5,0   c m

Passo 3

(b) O comprimento de onda é a distância (no eixo x ) ocupada por um vale e um pico juntos.

Em outras palavras, é a distância que a onda leva pra se repetir. Olhando o gráfico, dá pra ver que:

λ = 40   c m

Passo 4

(c) A velocidade da onda a gente pode calcular usando os outros valores que a questão também deu:

T = 3,6   N

μ = 25   g / m = 25   .   10 - 3   k g / m

Usando a fórmula que relaciona esses três valores:

v = T μ

v = 3,6 25.10 - 3 = 12   m / s

Passo 5

(d) Agora queremos o período da onda. Vamos tentar aproveitar os valores que já temos. Usando a velocidade v e o comprimento de onda λ por exemplo:

v = λ T

T = λ v

T = 0,4 12 = 0,033   s

Passo 6

(e) Agora queremos a velocidade transversal máxima da onda. A fórmula pra isso é:

v m á x = ω y m

Substituindo ω por ω = 2 π / T

v m á x = 2 π T y m

Então agora podemos substituir os valores:

v m á x = 2 π 0,033 5,0 = 9,5   . 10 2   c m / s

Passo 7

(f) Agora queremos o número de onda k , pra isso podemos aproveitar o valor que já calculamos para o comprimento de onda λ .

k = 2 π λ

k = 2 π 0,4 = 15,8   r a d / m

Passo 8

(g) A frequência angular ω nós já até calculamos lá em cima, aproveitando o valor do período T :

ω = 2 π T = 2 π 0,033 = 1,9   .   10 2   r a d / s

Passo 9

(h) A fase ϕ costuma ser um pouco mais difícil de calcular.

Vamos lembrar qual é a função que está representada no gráfico da questão:

y x , 0 = y m . sen ⁡ ( k x + ϕ )

Pegando o ponto em que ela cruza o eixo y :

y 0,0 = 4,0 = 5,0 . sen ⁡ ( ϕ )

sen ⁡ ϕ = 4 5

Fazendo isso na calculadora (em radianos) a resposta é:

ϕ = 0,93   r a d

Passo 10

(i) Pra definir qual é o sinal que acompanha o ω , é só lembrar daquela relação de sempre:

O n d a   s e   p r o p a g a n d o   n o   s e n t i d o   p o s i t i v o → S i n a l   n e g a t i v o   n o   ω

O n d a   s e   p r o p a g a n d o   n o   s e n t i d o   n e g a t i v o → S i n a l   p o s i t i v o   n o   ω

Então no nosso caso, como a onda se propaga no sentido negativo, o sinal do ω vai ser positivo.

Resposta

(a) y m = 5,0   c m

(b) λ = 40   c m

(c) v = 12   m / s  

(d) T = 0,033   s

(e) v = 9,5   . 10 2   c m / s  

(f) k = 15,8   r a d / m

(g) ω = 1,9   .   10 2   r a d / s

(h) ϕ = 0,93   r a d  

(i) Positivo.

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