Enunciado

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Ondas sonoras com uma frequência de 3000 Hz e uma velocidade de 343 m/s passam pela abertura retangular de uma caixa de som e se espalham por um grande auditório de comprimento d = 100   m . A abertura, que tem uma largura horizontal de 30,0 cm, está voltada para uma parede que fica a 100 m de distância (Fig, 36-36). Ao longo dessa parede, a que distância do eixo central está o primeiro mínimo de difração, posição na qual um espectador terá dificuldade para o ouvir o som? (Ignora as reflexões.)

Passo 1

Nesse exercício vamos utilizar a equação para o mínimo de difração e as relações trigonométricas para estabelecer conexões entre a distância em que ouvinte terá dificuldades para ouvir e a expressão para o mínimo da difração

Passo 2

Analisando a belíssima imagem acima, podemos ver que é possível estabelecer uma relação para encontrarmos o y , que é a distância onde o ouvinte terá dificuldades para ouvir. Assim, podemos escrever da seguinte forma

sin ⁡ θ = y h i p o t e n u s a = y d 2 + y 2

Temos também que a relação do mínimo é dada por a ⋅ sin ⁡ θ = m ⋅ λ . Substituindo nosso valor de seno na equação, chegamos que

a ⋅ y d 2 + y 2 = m ⋅ λ

Elevando toda a equação ao quadrado, temos que

y 2 d 2 + y 2 = m 2 ⋅ λ 2 a 2

y 2 = m 2 ⋅ λ 2 a 2 ⋅ d 2 + y 2 = y 2 ⋅ m 2 ⋅ λ 2 a 2 + d 2 ⋅ m 2 ⋅ λ 2 a 2

y 2 - y 2 ⋅ m 2 ⋅ λ 2 a 2 = d 2 ⋅ m 2 ⋅ λ 2 a 2

y 2 ⋅ a 2 m 2 ⋅ λ 2 - 1 = d 2 → y = d a 2 m 2 ⋅ λ 2 - 1

Substituindo os valores que temos, assumindo m = 1 para o primeiro mínimo de difração e substituindo o comprimento de onda pela frequência através da relação λ = v f , temos que

y = d a 2 ⋅ f 2 v 2 - 1 = 100   m 0,3   m ⋅ 3000   H z 343   m / s 2 - 1 = 41,2   m

Logo, 41,2   m é a distância onde um ouvinte começara a ter dificuldades para ouvir o som emitido.

Resposta

y = 41,2   m .

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