Enunciado

A órbita da Terra em torno do Sol é quase circular: as distâncias de maior aproximação e maior afastamento são 1,47.10 8   k m e 1,52.10 8   k m , respectivamente. Determine as variações correspondentes (a) da energia total, (b) da energia potencial gravitacional, (c) da energia cinética e (d) da velocidade orbital. (Sugestão: use as leis de conservação da energia e do momento angular.)

Passo 1

Vamos começar ilustrando a situação:

E a questão nos informou que R m í n = 1,47,10 11   m e R m á x = 1,52.10 11   m .

Passo 2

Beleza, a letra (a) quer a variação da energia total entre um ponto e outro. Essa é tranquila, porque a lei da conservação de energia diz que a energia total se conserva em um sistema fechado.

Como podemos pensar na Terra como um sistema fechado, podemos dizer que a variação da energia total é nula.

Passo 3

A letra (b) quer a variação da energia potencial gravitacional. Vamos lembrar que:

U =   - G M s M T R

Portanto:

Δ U = - G M S M T 1 R m á x - 1 R m í n

Δ U = - ( 6,67.10 - 11 ) ( 2,0.10 30 ) ( 5,98.10 24 ) 1 ( 1,52.10 11 ) - 1 ( 1,47.10 11 )

Δ U = 1,8.10 32   J

E essa é a resposta da letra (b).

Passo 4

A letra (c) quer a variação da energia cinética. Calcular cada uma das energias daria muito trabalho, porque ainda não temos as velocidades, então vamos usar a lei da conservação de energia.

K 1 + U 1 = K 2 + U 2

Reorganizando isso:

K 2 - K 1 + U 2 - U 1 = 0

Δ K + Δ U = 0

Mas acabamos de calcular Δ U , ou seja:

Δ K + 1,8.10 32 = 0

Δ K = - 1,8.10 32   J

Pronto!

Passo 5

A letra (d) pede a variação da velocidade orbital.

Aqui vamos aproveitar a dica do enunciado, e usar a lei de conservação do momento angular. Uma forma simples de escrever essa lei nesse caso é:

L 1 = L 2

M T R m í n v 1 = M T R m á x v 2

Cortando a massa da Terra:

R m í n v 1 = R m á x v 2

Agora vamos aproveitar a variação da energia cinética que calculamos logo acima:

Δ K = M T 2 v 2 2 - v 1 2 = M T 2 v 2 2 - v 1 2 = M T 2 v 2 2 1 - R m á x 2 R m í n 2

Podemos aproveitar isso para achar o valor de v 2 :

v 2 = 2 ( - 1,8.10 32   J ) 5,98.10 24 1 - 1,52.10 11 2 1,47.10 11 2 = 2,95.10 4   m / s

Passo 6

Agora vamos voltar à relação inicial que achamos entre v 2 e v 1 :

R m í n v 1 = R m á x v 2

v 1 = R m á x R m í n v 2

Substituindo:

v 1 = 1,52.10 11 1,47.10 11 2,95.10 4 = 3,05.10 4   m / s

E a diferença vai ser:

Δ v = v 2 - v 1 = 3,05 - 2,95 . 10 4 = - 1,00.10 4   m / s

Pronto!

Resposta

(a) Δ E = 0

(b) Δ U = 1,8.10 32   J

(c) Δ K = - 1,8.10 32   J

(d) Δ v = - 1,00.10 4   m / s

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