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Um objeto de massa m é mantido inicialmente no lugar a uma distância r = 3 R T do centro da Terra, onde R T é o raio da Terra. Seja M T a massa da Terra. Uma força é aplicada ao objeto para deslocá-lo para uma distância r = 4 R T na qual é novamente mantido no lugar. Calcule o trabalho realizado pela força aplicada durante o deslocamento integrando o módulo da força.

Passo 1

Temos uma força empurrando um objeto para longe da Terra, e a questão quer saber qual é o trabalho realizado por essa força.

Vamos começar nos lembrando da definição de trabalho:

W = ∫ F d r

No nosso caso, a fórmula para F vai ser:

F = G M T m r 2

E vamos integrar de 3 R T até 4 R T .

Passo 2

Vamos substituir isso tudo e resolver a integral:

W = ∫ 3 R T 4 R T G M T m r 2 d r

W = G M T m ∫ 3 R T 4 R T 1 r 2 d r

Aplicando uma regra de integração simples para potências:

∫ 1 r 2 d r = - 1 r + K

W = G M T m - 1 4 R T - - 1 3 R T = - G M T m 1 4 R T - 1 3 R T

Passo 3

Agora vamos organizar isso:

W = - G M T m 1 4 R T - 1 3 R T = - G M T m 3 - 4 12 R T

W = - G M T m - 1 12 R T = G M T m 12 R T

E essa é a resposta da questão.

Resposta

A fórmula para o trabalho será W = G M T m 12 R T   .

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