Enunciado

Num país frio, a temperatura sobre a superfície de um lago caiu a - 10 ° C e começa a formar-se uma camada de gelo sobre o lago. A água sob o gelo permanece a 0 ° C : o gelo flutua sobre ela e a camada de espessura crescente em formação serve como isolante térmico, levando ao crescimento gradual de novas camadas de cima para baixo. (a) Exprima a espessura l da camada de gelo formada, decorrido um tempo t do início do processo de congelamento, como função da condutividade térmica k do gelo, da sua densidade ρ e do calor latente de fusão L , bem como da diferença de temperatura Δ T entre a água e a atmosfera do lago. Sugestão: Considere a agregação de uma camada de espessura d x à camada já existent, de espessura x , e integre em relação a x . (b) No exemplo acima, calcule a espessura da camada de gelo 1   h após iniciar-se o congelamento, sabendo que k = 4 × 10 - 3 c a l s ∙ c m ∙ ° C , ρ = 0,92   g / c m 3 e L = 80   c a l / g .

Passo 1

Vamos seguir a sugestão do enunciado, e começar considerando uma pequena camada de espessura d x , logo abaixo da camada de gelo de espessura x :

A energia necessária para congelar aquela camada d x é a seguinte:

d Q = d m   L

Onde L é o calor latente de fusão da água. E podemos reescrever aquela massa d m como:

d m = ρ A   d x

Então a energia necessária é:

d Q = ρ A L   d x

Passo 2

Beleza, agora vamos pensar na taxa com que o calor flui através da camada já congelada:

A camada de gelo tem uma espessura x , e está sujeita a uma diferença de temperatura Δ T , então:

Φ = k A Δ T x

Onde Φ é a taxa de transmissão de calor por unidade de tempo:

Φ = d Q d t = k A Δ T x

Agora vamos substituir com a fórmula que escrevemos lá em cima:

ρ A L   d x d t = k A Δ T x

Vamos reorganizar um pouco:

x   d x = k Δ T ρ L d t

Agora é só integrar com t indo de t = 0 até um tempo t , e a espessura da camada de gelo vai de x = x 0 até um valor x .

Passo 3

Integrando os dois lados, temos:

∫ x 0 x x   d x = ∫ 0 t k Δ T ρ L d t

1 2 x 2 - x 0 = k Δ T ρ L t

Se no instante inicial não temos nenhum gelo na superfície, então x 0 = 0 e:

1 2 x 2 = k Δ T ρ L t

x = 2 k Δ T ρ L t

Passo 4

(b) Agora queremos calcular a espessura x da camada depois de 1 hora:

t = 1   h o r a = 1 60 60 = 3600   s

E agora é só substituir os valores que foram dados no enunciado na nossa fórmula:

x = 2 4.10 - 3 10 0,92 80 3600

x ≈ 1,98   c m

Resposta

(a) A espessura é dada por x = 2 k Δ T ρ L t .

(b) Depois de uma hora a espessura será x ≈ 1,98   c m .

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