Enunciado

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Uma partícula em uma caixa unidimensional com comprimento L está no primeiro estado excitado (n = 2). (A caixa tem uma extremidade na origem e a outra extremidade no eixo x positivo.) (A) Esboço ψ 2 (x) versus x para esse estado. (b) Qual é o valor esperado para esse estado? (c) Qual é a probabilidade de encontrar a partícula em alguma região pequena dx centrada em x = L / 2? (d) Suas respostas para a Parte (b) e a Parte (c) são contraditórias? Caso contrário, explique por que suas respostas não são contraditórias.

Passo 1

(a) Então, vamos plotar ψ 2 2 x , onde:

ψ 2 x = 2 L s e n 2 π x L

Assim:

ψ 2 2 x = 2 L s e n 2 2 π x L

O gráfico é:

Passo 2

(b) Para resolver essa questão, vamos usar:

f x = ∫ f x ψ 2 x d x

Onde, no primeiro estado excitado:

ψ 2 x = 2 L s e n 2 π x L

Assim, para f x = x e uma caixa com comprimento L :

x = ∫ 0 L x ψ 2 2 x d x

x = ∫ 0 L 2 x L s e n 2 2 π x L d x

Calma, essa integral é tabelada, o máximo que precisa fazer é a substituição θ = 2 π x L :

x = L θ 2 π e d θ = 2 π L d x

x = ∫ 0 2 π 2 L θ L 2 π s e n 2 θ L 2 π   d θ

x = ∫ 0 2 π θ π s e n 2 θ L 2 π   d θ

x = L 2 π 2 ∫ 0 2 π θ s e n 2 θ   d θ

E o resultado dessa integral é:

x = L 2 π 2 θ 2 4 - θ s e n 2 θ 4 - cos ⁡ 2 θ 8 0 2 π

x = L 2 π 2 π 2 - 1 8 + 1 8

x = L 2

Passo 3

(c) A probabilidade é dada pela:

P x = ψ 2 2 x = 2 L s e n 2 2 π x L

Então, queremos a probabilidade para x = L 2 :

P L 2 = 2 L s e n 2 2 π L 2 L

P L 2 = 2 L s e n 2 π

P L 2 = 2 L 0 2

P L 2 = 0

Passo 4

(d) A diferença entre as duas letras anteriores é que em (b) temos um valor médio da medições das posições da partícula, mesmo que a probabilidade da partícula estar nessa posição seja 0 .

Então, as respostas da (b) e da (c) não são contraditórias.

Resposta

(a)

(b) L 2

(c) 0

(d) Não são contraditórias.

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(a) Use um programa de planilha ou calculadora gráfica para plotar x2
Uma partícula está no primeiro estado excitado (n = 2) de uma caixa un
Uma caixa unidimensional está no eixo x na região de 0 ≤ x ≤ L. Uma pa