Enunciado

Uma partícula com carga q negativa e massa m = 2,58 × 10 - 15 k g se move através de uma região com um campo magnético uniforme B _ = - ( 0.120   T ) k ^ . Em um certo instante, a velocidade da partícula é dada por v _ = ( 1,05 × 10 6 m / s ) ( - 3 i ^ + 4 j ^ + 12 k ^ )   e a força F _ sobre a partícula possui módulo igual a 2,45 N. (a) Determine a carga q. (b) Calcule a aceleração a _ da partícula. (c) Explique por que a trajetória da partícula é uma hélice e calcule o raio da curvatura R do componente circular da trajetória helicoidal. (d) Determine a frequência ciclotrônica da partícula. (e) Embora um movimento helicoidal não seja periódico, no sentido exato da palavra, as coordenadas x e y variam de modo periódico. Se as coordenadas da partícula para t = 0 forem ( x , y , z ) = ( R , 0,0 ) , quais serão as coordenadas para o instante t = 2 T , em que T é o período do movimento no plano xy?

Passo 1

letra a)

A força magnética é dada por:

F B _ = q v _ × B _

Então vamos encontrar o módulo da força magnética para poder encontrar a carga.

Passo 2

Para acharmos o módulo da força magnética, primeiro precisamos calcular as componentes da força.

F B _ = q ⋅ 1,05 ⋅ 10 6 - 3   i ^ + 4   j ^ + 12   k ^ × - 0,12   k ^

F B _ = - q ⋅ 1,05 ⋅ 10 6 3   j ^ + 4   i ^ + 0

F B _ = - q ⋅ 1 , 26 ⋅ 10 5 3   j ^ + 4   i ^

Passo 3

Precisamos agora achar o módulo da força.

F B = q ⋅ 1 , 26 ⋅ 10 5 3 2 + 4 2

F B = q ⋅ 1 , 26 ⋅ 10 5 ⋅ 5

A carga vai ser então:

q = - F B 1,05 ⋅ 10 6 ⋅ 5

q = - 2,45 1 , 26 ⋅ 10 5 ⋅ 5

q = - 3,89 ⋅ 10 - 6   C

q = - 3,89   μ C

Passo 4

letra b)

Para encontrarmos a aceleração da partícula basta usarmos a 2 ° lei de Newton.

F _ = m a _

a _ = F _ m

a _ = - q ⋅ 1 , 26 ⋅ 10 5 3   j ^ + 4   i ^ m

a _ = - - 3,89 ⋅ 10 - 6 ⋅ 1 , 26 ⋅ 10 5 3   j ^ + 4   i ^ 2,58 ⋅ 10 - 15

a _ = 1,90 ⋅ 10 1 4 3   j ^ + 4   i ^ m / s 2

a _ = 7,60 × 10 14 m s 2 i ^ + 5,70 × 10 14 m s 2 j ^

Passo 5

letra c)

A força magnética tem componentes nos eixos x y e no eixo z a partícula se move com velocidade constante. Então, a força magnética faz com que a partícula tenha um movimento circular no plano x y e com a força direcionada para o centro do círculo.

Passo 6

Para encontrarmos o raio precisamos relacionar a força magnética com força centripeta.

F = m v 2 R

R = m v 2 F

R = 2,58 ⋅ 10 - 15 ⋅ - 3,15 ⋅ 10 6 2 + 4,20 ⋅ 10 6 2 2 2,45

R = 2,90   c m

Passo 7

letra d)

A frequência é dada por:

f = ω 2 π = v 2 π R

f = - 3,15 ⋅ 10 6 2 + 4,20 ⋅ 10 6 2 2 π ⋅ 2,90 ⋅ 10 - 2

f = 2,88 ⋅ 10 7   H z

Passo 8

letra e)

Período é:

T = 1 f = 1 2,8 8 ⋅ 10 7

T = 3,4 7 ⋅ 10 - 8   s

Queremos saber a posição da partícula para o instante t = 2 T = 6,94 ⋅ 10 - 8   s .

Como no eixo x y a partícula tem movimento circular, no instante t = 2 T a partícula está na posição x = R e y = 0 . Precisamos agora encontrar a posição da partícula no eixo z .

Passo 9

Como a partícula tem velocidade constante no eixo z , podemos escrever:

z = z o + v z t

z = 0 + 12,6 ⋅ 10 6 ⋅ 6,94 ⋅ 10 - 8

z = 0,0874   m

Então para o instante dado, a posição da partícula será 0,029 ; 0 ; 0,0874 .

Resposta

letra a) q = - 3,89   μ C

letra b) a _ = 7,60 × 10 14 m s 2 i ^ + 5,70 × 10 14 m s 2 j ^

letra c)A força magnética tem componentes nos eixos x y e no eixo z a partícula se move com velocidade constante. Então, a força magnética faz com que a partícula tenha um movimento circular no plano x y e com a força direcionada para o centro do círculo.

R = 2,90   c m

letra d) f = 2,88 ⋅ 10 7   H z

letra e) 0,029 ; 0 ; 0,0874

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