Enunciado

Uma partícula se desloca ao longo de um eixo x , primeiro no sentido positivo, do ponto x   =   1,0   m até o ponto   x   =   4,0   m , e depois no sentido negativo, de volta ao ponto x   =   1,0   m , enquanto uma força externa age sobre a partícula. A força é paralela ao eixo x e pode ter valores diferentes no caso de deslocamentos no sentido positivo e no sentido negativo do eixo. A tabela a seguir mostra os valores (em newtons) em quatro situações, onde x está em metros:

Determine o trabalho total realizado sobre a partícula pela força externa durante a viagem de ida e volta nas quatro situações. (e) Em que situações a força externa é conservativa?

Passo 1

a) Na ida F i = 3   N e d i = 3   m e na volta F v = 3   N e d v = - 3   m . O trabalho total será

W = W i + W v = F i d i + F v D v = 3.3 + - 3 . - 3

W = 18   J

Passo 2

b) Na ida F i = 5   N e d i = 3   m e na volta F v = 5   N e d v = - 3   m . O trabalho total será

W = W i + W v = F i d i + F v D v = 5.3 + 5 . - 3

W = 0

Passo 3

c) Na ida F i = 2 x   N e d i = 3   m e na volta F v = - 2 x   N e d v = - 3   m . O trabalho total será

W = W i + W v = ∫ 1 4 F i d i + ∫ 1 4 F d d d = ∫ 1 4 2 x d x + ∫ 4 1 - 2 x d x

Pela propriedade da integral, temos

∫ a b f x d x = - ∫ b a f x d x

Logo

W = 2 ∫ 1 4 x d x - ∫ 4 1 x d x = 2 ∫ 1 4 x d x + ∫ 1 4 x d x = 4 ∫ 1 4 x d x

W = 4 x 2 2 = 2 x 2 x = 1 x = 4 = 2.15

W = 30   J

Passo 4

d) Na ida F i = 3 x 2   N e d i = 3   m e na volta F v = 3 x 2   N e d v = - 3   m . O trabalho total será

W = W i + W v = ∫ 1 4 F i d i + ∫ 1 4 F d d d = ∫ 1 4 3 x 2 d x + ∫ 4 1 3 x 2 d x

Pela propriedade da integral, temos

∫ a b f x d x = - ∫ b a f x d x

Logo

W = 3 ∫ 1 4 x 2 d x + ∫ 4 1 x 2 d x = 3 ∫ 1 4 x d x - ∫ 1 4 x d x

W = 0  

Passo 5

e) As letras b ) e d ) são conservativas, uma vez que o trabalho total é zero.

Resposta

a) W = 18   J

b) W = 0

c) W = 30   J

d) W = 0

e) b )   e   d )

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