Enunciado

Uma pedra está amarrada a uma corda e a outra extremidade da corda é mantida fixa. A pedra é largada com uma velocidade inicial tal que ela passa a descrever um movimento circular em

um plano vertical. Prove que a tensão na corda no ponto inferior da trajetória é igual a seis vezes o peso da pedra mais a tensão na corda no ponto superior da trajetória.

Passo 1

Belezera galerinha! Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Esse probleminha é como se fosse um pendulo, mas ao invés da pedra ir e voltar no movimento do pendulo, ela vai girar em circunferência completa. Deste modo, vamos usar a conservação de energia para relacionar a velocidade no ponto mais baixo com a velocidade no ponto mais alto.

Passo 2

Depois disso vamos aplicar o somatório das forças, ∑ F = m a ,   para calcular a tensão a corda.

Lembrando que a pedra tem apenas aceleração centrípeta durante o movimento circular presa a corsa, dada pela equação:

a r a d = v 2 R

Onde v é a velocidade da pedra, e R é o raio da trajetória.

Pela conservação da energia,

E i = E t

1 2 m v i 2 + m g h i = 1 2 m v t 2 + m g h t

v i velocidade inferior

h i altura inferior

v t velocidade no topo

h t altura no topo

Temos que no ponto mais baixo da circunferência a altura será zero, ou seja, a energia potencia será zero também.

Passo 3

Se a velocidade da pedra no topo é v t , e a velocidade da pedra no ponto inferior é v i , temos que através da conservação da energia essas velocidades se relacionam como:

1 2 m v i 2 = 1 2 m v t 2 + m g ( 2 R )

Onde m g ( 2 R ) se refere a energia potencial gravitacional que a rocha possui no ponto mais alto. Dessa maneira, temos que podemos retirar a massa em todos os membros e multiplicá-los por 2:

v i 2 = v t 2 + 4 g R

v i 2 - v t 2 = 4 g R

Guarda com carinho essa equação, vamos usar ela mais tarde rsrs

Passo 4

A tensão no topo e na parte inferior são relacionais por equações dadas como:

T t = m v t 2 R - m g

E

T i = m v i 2 R + m g

Então:

T i - T t = m R v i 2 - v t 2 + 2 m g

Agora lembra da equação que a gente guardou lá no Passo 3?!

v i 2 - v t 2 = 4 g R

Então, se a gente colocar na nossa equação agora, obtemos que:

T i - T t = m R 4 g R + 2 m g

T i - T t = 6 m g

Ou seja, isolando T i :

T i = 6 m g + T t

E como m g é a força peso P , temos que a tensão na parte inferior é:

T i = 6 P + T t

Seis vezes o peso da pedra mais a tensão na corda no ponto superior da trajetória!!

Resposta

T i = 6 P + T t

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