Enunciado

Uma partícula de massa m= 1Kg, lançada sobre um trilho retilíneo com velocidade 3 m/s, está sujeita a uma força F(x) = -a -bx, onde a= 4N, b = 1 N/m e x é o deslocamento, em m, a partir da posição inicial. a) Em que pontos do trilho a velocidade da partícula se anula? b) Faça o gráfico da velocidade da partícula entre esses pontos. c) A que tipo de lei de forças corresponde F(x) ?

Passo 1

(a) Para que a velocidade da partícula se anule é necessário que sua energia cinética varie em - m v i 2 2 , logo o trabalho que essa força realiza em um deslocamento de x’ metros sobre a partícula deve ter esse mesmo valor:

∫ 0 x ' F x   d x =   - m v i 2 2

Substituindo os valores:

∫ 0 x ' - 4 - x   d x =   - 1.3 2 2

Resolvendo a integral,

- 4 x ' - x ' 2 2 =   - 9 2

Reorganizando temos

x ' 2 + 8 x ' - 9 = 0

Finalmente,

x ' =   - 9   o u   1

Logo nossa velocidade é igual a 0 em x =   - 9 m   e   x = 1 m

Passo 2

(b) Para descobrir a velocidade em função de x, vamos usar a mesma relação anterior. Sabendo que a massa é de 1kg e a velocidade inicial 3 m/s temos,

∫ 0 x F x '   d x ' = Δ K

∫ 0 x F x '   d x ' = m 2 ( v 2 - v i 2 )

∫ 0 x - 4 - x '   d x ' = 1 2 v 2 - 9

Integramos em relação a x’, só porque a variável não pode ser igual ao limite de integração! Só um detalhe matemático, mas que não vai fazer diferença, tá? Integrando:

- 4 x - x 2 2 = 1 2 v 2 - 9

Colocando a nossa velocidade em evidência:

v 2 = - x 2 - 8 x + 9

Para descobrir a velocidade tomamos a raíz quadrada em ambos os lados

v x = ± - x 2 - 8 x + 9

Portanto, o gráfico da nossa partícula fica assim

Isso acontece porque nossa partícula pode ter velocidade negativa ou positiva para uma mesma posição x, a depender se ela está indo ou voltando, como uma mola.

Passo 3

(c) Essa força atua como a força elástica onde seu ponto de equilíbrio ocorre quando F x =   0

- 4 - x = 0  

x e q = 4

Resposta

a )   x = 1   m   e   x = 9 m

b )   v x = ± - x 2 - 8 x + 9

c )   F o r ç a   e l á s t i c a

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