Enunciado

Uma partícula se move com rapidez constante em um círculo de raio 4,0   c m . Ele leva 8,0   s para completar cada revolução. (a) Desenhe o caminho da partícula em escala, e indique a posição da partícula em intervalos de 1,0   s . (b) Esboce os vetores de deslocamento para cada intervalo. (c) Graficamente, encontre a magnitude da mudança da velocidade média Δ v → para dois intervalos consecutivos de um segundo. Compare Δ v → / Δ t , medido dessa forma, com a magnitude da aceleração instantânea computada por a c = v 2 / r .

Passo 1

(a) Se a partícula atravessa um círculo inteiro em 8,0   s , isso quer dizer que a cada segundo ela percorre o seguinte arco:

α = 360 ° 8 = 45 °

Então vamos desenhar isso em um círculo de raio r = 4,0   c m :

Passo 2

(b) Agora vamos esboçar os vetores de deslocamento:

Passo 3

(c) Vamos lembrar da definição da velocidade média:

v → = Δ r → Δ t

Como encontrar o módulo de Δ r → ? Podemos usar uma fórmula geral para um segmento que une dois pontos sobre uma circunferência:

Δ r = 2 r sen ⁡ θ 2

No nosso caso o ângulo é θ = 45 ° , e r = 0,04   m , então:

Δ r = 2 r sen ⁡ 22,5 °

Ou seja:

v → = 2 r sen ⁡ 22,5 ° Δ t

Mas nosso objetivo final é calcular | Δ v → | , como já vimos que os dois vetores são paralelos (e a rapidez é constante, assim como o raio r ), podemos calcular os módulos usando a mesma lógica:

Δ v → = 2 | v → | sen ⁡ 22,5 °

E então:

Δ v → = 2 2 r sen ⁡ 22,5 ° Δ t sen ⁡ 22,5 °

Agora já podemos escrever uma expressão para Δ v → Δ t :

Δ v → Δ t = 4 r sen 2 ⁡ 22,5 ° Δ t 2

E substituindo os valores numéricos, podemos obter uma estimativa para a aceleração instantânea a :

a = 4 0,04 sen 2 ⁡ 22,5 ° 1,0 2 = 0,023   m / s 2

a = 2,3   c m / s 2

Passo 4

Vamos agora calcular a aceleração instantânea usando a fórmula:

a c = v 2 r

E reescrevendo a rapidez v :

a c = 1 r 2 π r T 2

a c = 4 π 2 r T 2

a c = 4 π 2 0,04 8,0 2 = 0,025   m / s 2

a c = 2,5   c m / s 2

Que é bastante próximo do resultado anterior:

a c a = 2,5 2,3 = 1,08

a c ≅ 1,1   a

Resposta

(a) Desenho.

(b) Desenho.

(c) Sendo a a aceleração medida graficamente e a c medida pela definição, encontramos a c ≅ 1,1   a .

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