Enunciado

Ao descer uma encosta, um esquiador é freado pela força de arrasto que o ar exerce sobre o seu corpo e pela força de atrito cinético que a neve exerce sobre os esquis. (a) Suponha que o ângulo da encosta é θ = 40,0 ° , que a neve é seca, com um coeficiente de atrito cinético μ k = 0,0400 , que a massa do esquiador e seu equipamento é m = 85,0   k g , que a área da seção reta do esquiador (agachado) é A = 1,30   m 2 , que o coeficiente de arrasto é C = 0,150 e que a massa específica do ar é 1,20   k g / m 3 . (a) Qual é a velocidade terminal? (b) Se o esquiador pode fazer o coeficiente de arrasto C sofrer uma pequena variação d C alterando, por exemplo, a posição das mãos, qual é a variação correspondente da velocidade terminal?

Passo 1

Show de bolinhas pessoal, podemos começar esse exercício fazendo o DCL do esquiador:

Lembrando que como o esquiador está em movimento, então devemos usar a força de atrito cinético, que pode ser calculada a partir da seguinte relação:

f k = μ k N       e q . 1

A partir da ilustração, podemos aplicar a segunda lei de Newton no eixo x para determinar a força de arrasto:

e i x o   x :       D = P sin ⁡ θ - f k       e q . 2

Como no eixo y não há movimento e, portanto, está em equilíbrio, podemos determinar a normal em fução da componente y do peso:

N = P cos ⁡ θ       e q . 3

Por fim, devemos lembrar da equação da velocidade terminal:

v t = 2 D C ρ A       e q . 4

Passo 2

Na e q . 2 vamos substituir a e q . 1 já com o valor da normal dado na e q . 3 :

D = m g sin ⁡ θ - μ k m g cos ⁡ θ

Substituindo os valores dados no enunciado:

D = 85 × 9,8 × sin ⁡ 40 ° - 0,04 × 85 × 9,8 × cos ⁡ 40 ° = 510   N

Passo 3

Com a força de arrasto determinada, podemos substituir na e q . 4 :

v t = 2 × 510 0,150 × 1,20 × 1,3 = 66,0   m / s

Passo 4

Quando o exercício fala de pequenas variações d C ele nos remete a derivada. Assim, devemos derivar a e q . 4 em função de d C . Assim:

d v t d C = - 1 2 2 D ρ A C - 3 / 2

Isolando d v t e substituindo os valores conhecidos:

d v t = - 1 2 2 × 510 1,2 × 1,3 × 0,15 - 3 2 d C

d v t = - 220   dC

Resposta

  1. v t = 66,0   m/s ;
  2. d v t = - 220 d C .
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