Enunciado

Uma partícula parte da origem em t = 0 e se move no sentido positivo do eixo x . O gráfico da velocidade da partícula em função do tempo é mostrado na Fig. 2-43; a escala vertical é definida por v s = 4,0   m / s . (a) Qual é a coordenada da partícula em t = 5,0   s ? (b) Qual é a velocidade da partícula em t = 5,0   s ? (c) Qual é a aceleração da partícula em t = 5,0   s ? (d) Qual é a velocidade média da partícula entre t = 1,0   s e t = 5,0   s ? (e) Qual é a aceleração média da partícula entre t = 1,0   s e t = 5,0   s ?

Passo 1

Para começar vamos lembrar a definição de deslocamento:

x ( t ) =   ∫ v t d t ,

sem esquecer que a integral é a área da função que estamos integrando.

O exercício nos deu o gráfico da velocidade. Então, para calcular o deslocamento, ou a posição da partícula em t = 5   s ( x a ), basta calcularmos a área do gráfico de 0 até 5   s e g u n d o s .

Para resolução de problemas como este, o macete é separar o gráfico em figuras, as quais as fórmulas de área são conhecidas. A fórmula que você precisa saber para resolver este exercício é:

A t r a p é z i o = B + b × h 2

Então, separando o gráfico acima, ficamos com:

Primeira figura (trapézio laranja):

x ' = A 1 = 4 + 2 × 4 2 = 12   m

Segunda figura (trapézio verde):

x ' ' = A 2 = 4 + 2 × 1 2 = 3   m

Portanto, para encontrar a posição da partícula no instante t = 5   s somamos as áreas calculadas acima:

x a = x ' + x ' ' = 12 + 3 = 15   m

Passo 2

Podemos retirar a velocidade no instante t = 5   s olhando diretamente o gráfico dado. Como o enunciado diz que dois retângulos equivalem a v s = 4   m / s , então um retângulo equivale a 2   m / s .

Portanto, como no instante t = 5   s o gráfico da velocidade intercepta o primeiro retângulo da grade, a velocidade neste instante é:

v b = 2   m / s

Passo 3

Para resolver esta etapa vamos lembrar a relação da velocidade e da aceleração:

a t = d v t d t

sem esquecer que a inclinação da função velocidade.

Logo, para determinar a aceleração no instante t = 5   s precisamos determinar o coeficiente angular da reta, ou seja, a tangente de θ :

tan ⁡ θ = a c = - 2 1 = - 2   m/ s 2

Passo 4

Para calcular a velocidade média precisamos ter em mente que nem sempre a velocidade média e a velocidade instantânea serão numericamente iguais. Este problema, por exemplo, a velocidade média e a velocidade instantânea não são iguais!

Então, vamos definir primeiro o que é velocidade média:

v m = ∆ x ∆ t

Portanto, para calcular a velocidade média da partícula entre t = 1,0   s e t = 5,0   s precisamos calcular o deslocamento nesse período de tempo e para calcular esse deslocamento vamos ter que calcular a área do gráfico entre estes instantes:

Calculando as áreas e aproveitando a simetria da figura:

Primeira figura (trapézio laranja):

A 1 = x ' = 4 + 2 × 1 2 = 3   m

Segunda figura (retângulo verde):

A 2 = x ' ' = 2 × 4 = 8   m

Portanto, o deslocamento total entre os instantes t = 1   s e t = 5   s é:

x 15 = 2 × x ' + x ' ' = 2 × 3 + 8 = 14   m

Usando a definição de velocidade média, temos:

v m = 14 5 - 1 = 14 4 = 3,5   m / s

Passo 5

Relembrando, inicialmente, a definição de aceleração média:

a m = ∆ v ∆ t

Como a velocidade no instante t = 1   s é igual a velocidade no instante t = 5   s , então a variação da velocidade é zero e, portanto:

a m = 0

Resposta

  1. 15   m ;
  2. v b = 2   m / s ;
  3. a c = - 2   m/ s 2 ;
  4. v m = 3,5   m / s ;
  5. a m = 0 .
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