Enunciado

a) Uma partícula α com velocidade inicial v colide com um elétron livre em repouso. Mostre que, se supomos que a massa da partícula α é de cerca de 7400 vezes a massa do elétron, a deflexão máxima da partícula α é de aproximadamente 10 - 4   r a d .

b) Mostre que a deflexão máxima de uma partícula α que interage com a carga positiva de um átomo de Thomson de raio 1,0 ⋅ 10 - 10   m é também de cerca de 10 - 4   r a d .

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Tem um erro no enunciado do livro: a massa da partícula alfa é 7400 vezes maior que a massa do elétron, não 74000 .

Vamos considerar primeiro a situação do item (a). Uma partícula α de massa M colide frontalmente com um elétron de massa m inicialmente em repouso.

A partícula alfa é espalhada por um ângulo θ e o elétron por ângulo ϕ . Vamos considerar que o problema é não relativístico.

Assim, a conservação do momento da direção horizontal nos fornece

M v = M V cos ⁡ θ + m u cos ⁡ ϕ

Estou chamando de V a velocidade da partícula alfa após a colisão e u a velocidade do elétron.

A conservação do momento na direção vertical dá

0 = M V   s e n   θ - m u   s e n   ϕ → M V   s e n   θ = m u   s e n   ϕ

Observe que

m u   s e n   ϕ = M V   s e n   θ m u cos ⁡ ϕ = M v - V cos ⁡ θ

Elevando as duas equações ao quadrado e somando:

m u 2 s e n 2 ϕ + cos 2 ⁡ ϕ = M V 2 s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ + M v 2 - 2 M v V cos ⁡ θ

Usando as relações trigonométricas, temos

m 2 u 2 = M 2 V 2 - 2 V v cos ⁡ θ + v 2

Guarde essa equação!

Passo 2

Agora vamos olhar para a conservação da energia:

M v 2 2 = M V 2 2 + m u 2 2 → m u 2 = M v 2 - V 2

Ou ainda,

m 2 u 2 = M m v 2 - V 2

Podemos igualar com a equação do passo 1:

M m v 2 - V 2 = M 2 V 2 - 2 V v cos ⁡ θ + v 2

Agora o trabalho é isolar cos ⁡ θ . Fazendo isso, encontramos:

cos ⁡ θ = v 2 V 1 - m M + V 2 v 1 + m M

Como queremos maximizar o ângulo, devemos ter

d d V cos ⁡ θ = - v 2 V 2 1 - m M + 1 2 v 1 + m M = 0

Assim,

- v 2 M - m + V 2 M + m = 0

Portanto,

V = v M - m M + m

Substituindo de volta, temos

cos ⁡ θ = v 2 v M - m M + m 1 - m M + v M - m M + m 2 v 1 + m M = 1 - m M 2

Agora vamos usar uma aproximação importante:

1 + x n ≈ 1 + n x ,         x ≪ 1

Assim, temos

cos ⁡ θ = 1 - m M 2 1 / 2 ≈ 1 - 1 2 m M 2

Além disso, para ângulos pequenos, temos

cos ⁡ θ ≈ 1 - θ 2 2

Portanto, obtemos

1 - θ 2 2 = 1 - 1 2 m M 2 → θ ≈ m M

Como M = 7400   m , temos

θ ≈ 1 7400 ≈ 10 - 4   r a d

Passo 3

Agora vamos para o item (b).

Quando a partícula alfa interagir com o átomo de Thomson (uma esfera uniformemente carregada com carga Z e e raio R ), vai sofrer ação de uma força F em um intervalo de tempo Δ t , de modo que a variação do momento na direção vertical vai ser

Δ p = F   Δ t

Supondo que o ângulo da deflexão é pequeno, podemos escrever

θ ≈ tan ⁡ θ = Δ p p = Δ p M v

Podemos estimar o tempo de interação como sendo a o tempo necessário para percorrer uma distância 2 R (diâmetro do átomo) a uma velocidade v :

Δ t = 2 R v

Já a força, podemos considerar a lei de Coulomb:

F = 1 4 π ϵ 0 ⋅ q a t o m o q α R 2

Usando q a t o m o = Z e e q α = 2 e , temos

F = 2 k 0 Z e 2 R 2

Assim,

Δ p = F   Δ t = 2 k 0 Z e 2 R 2 ⋅ 2 R v = 4 k 0 Z e 2 R v

Portanto,

θ ≈ 1 M v ⋅ 4 k 0 Z e 2 R v = 2 k 0 Z e 2 R ⋅ 1 M v 2 2

Identificando a energia cinética no denominador, temos

θ ≈ 2 k 0 Z e 2 R   K

Usando k 0 = 9 ⋅ 10 9   N m 2 / C 2 , Z = 89 (para o ouro), e = 1,6 ⋅ 10 - 19   C e K = 5   M e V = 5 ⋅ 10 6 ⋅ 1,6 ⋅ 10 - 19   J , obtemos

θ ≈ 4,5 ⋅ 10 - 4   r a d

PS: a escolha K = 5   M e V é razoável para partículas alfas não relativísticas!

Resposta

Demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro