Enunciado

Partículas esféricas, pequenas e lentas estão sujeitas a uma força de arrasto dada pela lei de Stokes: F d = 6 π η r v , onde r é o raio da partícula, v é sua rapidez, e η é o coeficiente de viscosidade do meio fluido. (a) Estime a rapidez terminal da partícula esférica de poluição de raio 1,00   .   10 - 5   m e 2000   k g / m 3 de densidade. (b) Assumindo que o ar está parado e que η é 1,80   .   10 - 5   N s / m 2 , estime o tempo que leva para que essa partícula caia por uma altura de 100   m .

Passo 1

(a) Nesse primeiro item o enunciado nos deu dos valores:

r = 1,00   .   10 - 5   m

ρ = 2000   k g / m 3

Como podemos relacionar essa densidade ρ às outras grandezas que aparecem no problema?

ρ = m V = m 4 3 π r 3

Onde V é o volume da esfera de raio r . Podemos usar essa relação para escrever a massa da partícula:

m = ρ 4 3 π r 3 = 2000 4 3 π 1,00.10 - 5 3 = 8,38   .   10 - 12   k g

Passo 2

Agora vamos pensar nas forças que agem sobre a partícula na direção vertical:

∑ F y = m g - F d = m a y

m g - 6 π η r v = m a y

E quando v é a rapidez terminal temos a y = 0 :

m g = 6 π η r v

v = m g 6 π η r

E substituindo os valores numéricos:

v = 8,38   .   10 - 12 9,81 ( 6 π ) ( 1,80.10 - 5 ) ( 1,00.10 - 5 )

v ≅ 0,0243   m / s

v = 2,43   c m / s

Passo 3

(b) Quanto tempo leva uma partícula de rapidez v = 2,43   c m / s para percorrer uma distância de 100   m = 10 4   c m ?

v = Δ y Δ t

Δ t = 10 4 2,43 = 4115   s

Δ t ≅ 1,14   h

Resposta

(a) v = 2,43   c m / s .

(b) Δ t = 1,14   h .

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