Enunciado

Em uma partida de beisebol, o monte do arremessador fica 0,20 m acima do nível do campo e a 18,4 m da base. Um arremessador atira uma bola com uma rapidez inicial de 37,5 m/s. No momento em que a bola abandona a mão do arremessador, ela está 2,30 m acima do monte. (a) Qual deve ser o ângulo entre v → 0 e a horizontal para que a bola cruze a base 0,70 m acima do chão? (Ignore a resistência do ar.) (b) Com que rapidez a bola cruza a base?

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Nesse tipo de problema, a primeira coisa a se fazer é tentar visualizar a situação. Pra te ajudar trouxe aqui um desenho que esquematiza tudo certinho.

Analisando o desenho é possível observar que o movimento se inicia a uma altura de 2,50 m do chão. Isso porque a questão nos diz que a bola sai da mão do arremessador a 2,30 m do monte e o monte tem 0,2 m. E o que a questão te pede é qual o ângulo entre v → 0 e a horizontal para que a bola cruze a base (que está a 18,4 m do arremessador) a uma altura de 0,70 m do chão. Conseguiu visualizar? Então vamos partir pras continhas.

Nossa velocidade pode ser decomposta em uma velocidade v 0 x e v 0 y caracterizando um movimento na horizontal e outro na vertical. O movimento da horizontal (em x) não possui aceleração, ou seja, ela é zero. Então o movimento é uniforme. Por isso para resolver o problema usaremos:

x t = x 0 + v 0 x ⋅ t

Onde v 0 x = v 0 ⋅ c o s θ 0

Na vertical, como a aceleração é a gravidade, o movimento é acelerado. Por isso podemos usar as equações:

  • y t = y 0 + v 0 y ⋅ t - 1 2 g ⋅ t 2
  • v y = v 0 y - g ⋅ t
  • v y 2 = v 0 y 2 - 2 ⋅ g ⋅ ∆ y

Onde v 0 y = v 0 ⋅ sin ⁡ θ 0

Como na questão não nos foi dado o tempo do movimento, podemos fazer manipulações com as equações, já que o tempo em x é o mesmo em y.

t = x ( t ) - x 0 v 0 x  

y t = y 0 + v o y ⋅ x t - x 0 v 0 x - 1 2 g ⋅ x t - x 0 v 0 x 2

Substituindo as componentes v 0 x = v 0 ⋅ c o s θ 0 e v 0 y = v 0 ⋅ sin ⁡ θ 0 temos:

y t = y 0 + v 0 ⋅ sin ⁡ θ 0 ⋅ x t - x 0 v 0 ⋅ c o s θ 0 - 1 2 g ⋅ x t - x 0 v 0 ⋅ c o s θ 0 2

y t = y 0 + ( x t - x 0 ) ⋅ v 0 ⋅ sin ⁡ θ 0 v 0 ⋅ c o s θ 0 - 1 2 g ⋅ x t - x 0 v 0 ⋅ c o s θ 0 2

y t = y 0 + ( x t - x 0 ) ⋅ t a n ⁡ θ 0 - 1 2 g ⋅ x t - x 0 v 0 ⋅ c o s θ 0 2

Agora podemos substituir os valores dados na questão:

  • y t = 0,7   m
  • y 0 = 2,5   m
  • x t = 18,4   m
  • x 0 = 0
  • g = 9,81   m / s 2
  • v 0 = 37,5   m / s

0,7 = 2,5 + 18,4 - 0 ⋅ tan ⁡ θ 0 - 1 2 ⋅ 9,81 ⋅ 18,4 - 0 37,5 ⋅ c o s θ 0 2

1 cos 2 ⁡ θ 0 + 15,58 tan ⁡ θ 0 = 1,524

Resolvendo na calculadora temos que θ 0 = 1,922 ° ≅ 1,9 ° .

Passo 2

A questão também pede a rapidez com que a bola cruza a base, ou seja, a velocidade da bola no instante em que a bola cruza a base.

Vamos achar a velocidade em x e y no instante em que a bola passa pela base e relacionar ambas para acharmos a resultante. Mas antes precisamos do tempo do movimento para ter todas as variáveis das equações.

t = x ( t ) - x 0 v 0 x  

t = 18,4 - 0 37,5 ⋅ cos ⁡ 1,9 °

t = 0,491   s

Já que descobrimos o tempo do movimento agora podemos descobrir a velocidade do movimento.

v y = v 0 y - g ⋅ t

v y = v 0 ⋅ sin ⁡ 1,9 ° - g ⋅ t

v y = 37,5 ⋅ sin ⁡ 1,9 ° - 9,81 ⋅ 0,491

Temos que v y =   - 3,57   m / s

v x = v 0 x = v 0 ⋅ cos ⁡ 1,9 °

Temos que v x = 37,48   m / s

Então:

v = v x 2 + v y 2

v = ( 37,48 ) 2 + - 3,57 2

v = 37,65   m / s

Resposta

a )   θ 0 = 1,922 ° ≅ 1,9 °

b )   v = 37,65   m / s

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