Enunciado

Partindo da Equação (5.10), deduza as equações (5.11) e (5.12).

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom?

Nesse problema temos que deduzir as equações 5.11 e 5.12 a partir da equação 5.10 .

Temos que a equação 5.10 é:

v y = v t 1 - e - k m t

Partindo desta, vamos deduzir as equação 5.11 :

a y = g e - k m t

E a equação 5.12 :

y = v t t - m k 1 - e - k m t

Agora que já sabemos as nossas equações, vamos começar!

Passo 2

Repara que a equação 5.10 é sobre a velocidade e a 5.11 é sobre a aceleração. Deste modo, a derivada de v y fornece a a y em função do tempo,   t .

Então, derivando:

a = ( v y )   ' = v t 1 - e - k m t '

Derivando,

a = v t k m e - k m t

Quando a equação da velocidade terminal:

v t = m g k

Foi usada.

a = m g k k m e - k m t

a = g e - k m t

Sacou?

Passo 3

Para deduzir a 5.12 , temos que a integral de v y fornece y como uma função do tempo.

Integrando:

v y = v t [ 1 - e - k m t ]

Em relação ao tempo, com y 0 = 0 , temos:

y = ∫ 0 1 v t [ 1 - e - k m t d t

y = v t t + m k e - k m t - v t m k

y = v t t - m k e - k m t

E aí! conseguiu entender? Responde Aí!

Resposta

v y = v t 1 - e - k m t → a = g e - k m t y = v t t - m k e - k m t

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