Enunciado

A peça de uma máquina consiste de uma barra fina e uniforme de 4,0   k g , com 1,50   m de comprimento e está presa por uma dobradiça perpendicular a uma barra vertical semelhante com massa de 3,0   k g e comprimento de 1,80   m . A barra mais longa possui uma bola pequena, porém densa de 2,0   k g em uma das extremidades (Figura 8.40 ). Qual a distância percorrida horizontalmente e verticalmente pelo centro de massa dessa peça, caso a barra vertical gire 90 °   no sentido anti-horário de modo a tornar toda a peça horizontal?

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar a distância percorrida horizontalmente e verticalmente pelo centro de massa da peça, caso a barra vertical gire 90 °   no sentido anti-horário de modo a tornar toda a peça horizontal.

Isso significa que precisamos determinar as coordenadas do centro de massa dessa peça antes de ser girada e depois de ser girada, certo? Temos que fazer esses cálculos para no final sabermos a variação nas distâncias em x e y do centro de massa da barra!

Sendo assim, vamos usar as equações das coordenadas do centro de massa:

x c m = m A . x A + m B . x B + m C . x C + … + m n . x n m A + m B + m C + … + m n

y c m = m A . y A + m B . y B + m C . y C + … + m n . y n m A + m B + m C + … + m n

Onde m é a massa de cada componente e x e y são são as distâncias horizontais e verticais, respectivamente. Com isso, conseguimos determinar o centro de massa C x c m ,   y c m antes e depois da rotação e subtrair um ponto do outro para determinar a variação dessa distância.

Vamos lá!

Passo 2

Antes da barra ser girada, ou seja, inicialmente, temos que o centro de massa para o eixo x é:

x i = m A . x A + m B . x B + m C . x C m A + m B + m C

No qual:

m A = 4,0   k g ;

m B = 3,0   k g ;

m C = 2,0   k g ;

x A = 0,750   m ;

x B = 0   m ;

x C = 0   m .

Aqui vale ressaltar que x A vale metade do comprimento porque, considerando que a barra seja uniforme, então o centro de massa da mesma é exatamente seu centro, que é a metade do comprimento, ok?

Ademais, nosso eixo positivo de y é para baixo e nosso eixo positivo de x é para a esquerda, beleza? Só estamos fazendo isso porque a peça está nesse formato, e aí fazendo isso facilita bastante nossa visualização.

Substituindo os valores, teremos:

x i = 4.0,750 + 0 + 0 4 + 3 + 2

∴ x i = 0,333   m

Passo 3

Agora que já fizemos para o eixo x , temos que descobrir para o eixo y , se liga:

y i = m A . y A + m B . y B + m C . y C m A + m B + m C

No qual:

y A = 0   m ;

y B = 0,900   m ;

y C = 1,80   m .

Aqui vale ressaltar a mesma coisa que ressaltamos no passo anterior! Como o comprimento da barra vertical tem 1,80   m , então seu centro de massa é exatamente no meio, que é em 0,900   m .

Substituindo os valores, teremos:

y i = 0 + 3.0,900 + 2.1,80 4 + 3 + 2

∴ y i = 0,700   m

Passo 4

Agora que já determinamos o centro de massa da peça antes de ser rotacionada, basta que calculemos o centro de massa da peça depois de ser rotacionada! Como a peça fica totalmente horizontal, isso implica que não há componente vertical, portanto y f = 0   m . Sendo assim, determinando o centro de massa em x , temos:

x f = m A . x A + m B . x B + m C . x C m A + m B + m C

Aqui vale comentar também que, agora que a peça foi rotacionada, os valores de x B e x C passarão a ser negativos, uma vez que estarão do lado direito da origem, que estamos assumindo ser o lado negativo do eixo.

Substituindo os valores, teremos:

x f = 4.0,750 + 3 . - 0,900 + 2 . ( - 1,80 ) 4 + 3 + 2  

∴ x f = - 0,366   m

Passo 5

Como a questão nos pede a distância percorrida pelo centro de massa em x e em y , basta fazermos a variação do centro de massa nos dois momentos: antes de ser girada e depois de ser girada.

Para o eixo x , temos:

x f - x i = - 0,366 - 0,333

∴ ∆ x = - 0,700   m

Para o eixo y , temos:

y f - y i = 0 - 0,700

∴ ∆ y = - 0,700   m

Com esses dados podemos concluir que o centro de massa foi deslocado 0,700   m para cima e 0,700   para a direita.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

∆ x = - 0,700   m

∆ y = - 0,700   m

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