Enunciado

Uma pedra de 0,20   k g é rodada em um círculo horizontal na ponta de uma corda de 0,80   m . A corda faz um ângulo de 20 ° com a horizontal. Determine a rapidez da pedra.

Passo 1

Olá, querido! Cê tá bem? Temos uma situação assim:

A ideia é a gente achar a rapidez v dessa pedrinha em movimento circular.

Vamos usar um esquema para representar as forças que agem sobre a pedra:

As componentes de F → são:

F x = F cos ⁡ θ

F y = F   s e n   θ

Percebe que para que haja uma trajetória circular, é necessário que acha uma força no plano da circunferência apontando para o centro da trajetória. Quem vai fazer esse papel é F x , porque o movimento da pedra só ocorre na horizontal.

A ideia é que a pedra gire apenas em um plano horizontal, ou seja, sem nenhum movimento no eixo y , por isso queremos que haja equilíbrio na vertical. Pela segunda lei de Newton:

∑ F y = m a y

∑ F y = 0

F x - F g = 0

F sen ⁡ θ - m g = 0

Passo 2

E na direção horizontal temos as forças que mantém a trajetória circular. Aplicando a segunda lei de Newton para direção x :

∑ F x = m a x

F x = m a x

F cos ⁡ θ = m a x

Mas lembra que esse a x é a aceleração horizontal da força resultante sobre a pedra. Só que na horizontal temos um movimento circular e força resultante é uma força centrípeta, então a aceleração horizontal é a aceleração centrípeta, que é dada por a = v 2 / r . Substituindo:

F cos ⁡ θ = m v 2 r

F = m v 2 r cos ⁡ θ

Substituindo isso na equação final do passo anterior:

F sen ⁡ θ - m g = 0

m v 2 r cos ⁡ θ sen ⁡ θ - m g = 0

Passo 3

Agora vamos resolver essa equação para calcular a rapidez v :

m v 2 r cos ⁡ θ sen ⁡ θ - m g = 0

v 2 = g r cos ⁡ θ sen ⁡ θ

Antes de substituir os valores numéricos precisamos nos lembrar de que o raio da trajetória circular não é igual ao comprimento L da corda, e sim a projeção do comprimento dela na horizontal, já que a trajetória é só horizontal:

r = L cos ⁡ θ

E então:

v 2 = g L cos ⁡ θ cos ⁡ θ sen ⁡ θ = g L cos 2 ⁡ θ sen ⁡ θ

Substituindo os dados:

v = g L cos 2 ⁡ θ sen ⁡ θ = 9,81 0,80   cos ⁡ 20 ° 2 sen ⁡ ( 20 ° )

v = 4,5   m / s

Resposta

A rapidez da pedra é v = 4,5   m / s .

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