Enunciado

Para determinar o coeficiente de atrito cinético de um bloco de madeira sobre a superfície horizontal de uma mesa, a seguinte tarefa é dada a você: pegue o bloco de madeira e dê-lhe uma velocidade inicial ao longo da superfície da mesa. Usando um cronômetro, meça o tempo Δ t que o bloco leva para parar e o deslocamento total Δ x que o bloco percorre após o empurrão. (a) Usando as leis de Newton e um diagrama de corpo livre do bloco, mostre que a expressão para o coeficiente de atrito cinético é dado por μ k = 2 Δ x / Δ t 2 g . (b) Se o bloco desliza por uma distância de 1,37   m em 0,97   s , calcule μ k . (c) Qual foi a rapidez inicial do bloco?

Passo 1

Primeiro vamos desenhar o diagrama de corpo livre de bloco quando ele se move para a direita:

Como o bloco está em equilíbrio na direção vertical, podemos dizer que N = m g , então:

F a t = μ k N = μ k m g

E aplicando a segunda lei de Newton na direção horizontal, ficamos com:

∑ F x = m a = - F a t g

m a = - μ k m g

a = - μ k g

Passo 2

(a) Agora que sabemos a aceleração, podemos relacioná-la com a distância Δ x e o tempo Δ t que o bloco leva para parar depois de ser empurrado com uma rapidez inicial v 0 :

Δ x = v 0 Δ t + 1 2 a Δ t 2

Como podemos reescrever essa rapidez inicial? Já que estamos lidando com aceleração constante, a seguinte fórmula é válida:

v m é d = v 0 + v f 2

Δ x = v m é d Δ t

E então, como a rapidez final é v f = 0 :

Δ x = v 0 2   Δ t         ⇒           v 0 = 2 Δ x Δ t

Substituindo isso na equação de cima:

Δ x = 2 Δ x Δ t Δ t + 1 2 a Δ t 2

Δ x = - 1 2 a Δ t 2

Agora vamos substituir a expressão que encontramos para a aceleração:

Δ x = - 1 2 - μ k g Δ t 2

Isolando o coeficiente de atrito:

μ k = 2 Δ x g Δ t 2

Que é exatamente o que queríamos demonstrar.

Passo 3

(b) Qual é o coeficiente de atrito se temos Δ x = 1,37   m e Δ t = 0,97   s ? É só substituir na fórmula que acabamos de encontrar:

μ k = 2 1,37 9,81 0,97 2

μ k = 0,297 ≅ 0,30

Passo 4

(c) Nesse caso, qual teria sido a rapidez inicial do bloco? Vamos voltar na fórmula que encontramos lá no passo 2 :

v 0 = 2 Δ x Δ t

E substituindo os valores:

v 0 = 2 1,37 ( 0,97 ) = 2,8   m / s

Resposta

(a) Demonstração.

(b) μ k = 0,30 .

(c) v 0 = 2,8   m / s .

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