Enunciado

Um pêndulo é afastado da vertical de um ângulo de 60 ° e solto em repouso. Para que ângulo com a vertical sua velocidade será metade da velocidade máxima atingida pelo pêndulo?

Passo 1

Lembrando da conservação de energia, a velocidade será máxima quando o pêndulo atingir o menor potencial gravitacional, ok? Por isso isso irá ocorrer no ponto mais baixo da trajetória.

K m á x = m g h

v m á x 2 = 2 g h

Se nossa velocidade for metade da máxima teremos v = v m á x 2       →

v 2 = v m á x 2 4

= g h 2

Podemos calcular nossa energia cinética por m v 2 2 , então nesse ponto desejado ela será igual a

m g h 4

Para descobrir a energia potencial temos

U = E - K

Neste ponto em que a velocidade é metade da máxima

U = m g h - m g h 4

= m g 3 4 h

Pronto, nossa altura será 3 4   da altura inicial.

Passo 2

Vamos visualizar a situação

Iniciamente nossa razão é essa

l - h l = c o s 60 °

l - h l = 1 2

2 l - 2 h = l

Isolando a razão h l

h l = 1 2

Na segunda situação nosso triângulo é o azul e temos

c o s θ = l - 3 h 4 l  

= 1 - 3 4   h l

Juntando nossas equações temos

1 - 3 4 1 2 = c o s θ

c o s θ = 5 8

θ = a r c o s 5 8 = 51,3 °

Resposta

θ = 51,3 °

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