Enunciado

Um pêndulo é formado por uma pedra de 2,0   k g oscilando na extremidade de uma corda de 4,0   m de comprimento e massa desprezível. A pedra tem uma velocidade de 8,0   m / s ao passar pelo ponto mais baixo da trajetória. (a) Qual é a velocidade da pedra quando a corda forma um ângulo de 60 ° com a vertical? (b) Qual é o maior ângulo com a vertical que a corda assume durante o movimento da pedra? (c) Se a energia potencial do sistema pêndulo-Terra é tomada sendo nula na posição mais baixa da pedra, qual é a energia mecânica total do sistema?

Passo 1

(a) Devemos perceber que no pêndulo a única força que realiza trabalho é a força gravitacional, tendo em vista que a força de tração da corda atua na pedra perpendicular ao deslocamento em todos os momentos. Mas sobre o pêndulo como um todo (pedra + corda), apenas a força peso age:

Como a força gravitacional é uma força conservativa, então podemos afirmar que há conservação da energia mecânica durante o movimento da pedra. Assim, aplicando a conservação de energia do ponto em que a pedra está passando no ponto mais baixo ( y = 0 , que é a imagem acima) e o ponto que o pêndulo faz um ângulo de θ = 60 ° com a vertical:

Onde L é o comprimento da corda.

Dessa forma, comparando as duas imagens, podemos ver que antes a pedra tinha apenas energia cinética, já que estava na altura 0 e depois passa a ter tanto energia cinética quanto potencial gravitacional, estando a uma altura h 1 . Logo, pela conservação de energia:

m v a 2 2 = m g h 1 + m v 1 2 2

Como queremos a velocidade final, vamos isolar o v 1 :

m v a 2 2 - m g h 1 = m v 1 2 2

Podemos dividir toda a equação por m e multiplicar por 2 :

v a 2 - 2 g h 1 = v 1 2

Dessa forma:

v 1 = v a 2 - 2 g h 1

Pela segunda imagem, podemos ver que h 1 = L - L cos ⁡ θ = L 1 - cos ⁡ θ , então:

v 1 = v a 2 - 2 g L 1 - cos ⁡ θ

Substituindo os valores:

v 1 = 8 2 - 2 × 9,8 × 4 × 1 - cos ⁡ 60 °

v 1 = 4,98   m / s

Passo 2

(c) Bom, o pensamento é o mesmo da letra anterior, a diferença é que, agora, queremos o ponto máximo que a pedra atinge. Na altura máxima, a pedra tem v = 0 , pois ela estava subindo e está prestes a descer. Então, agora, ela tinha energia cinética e transformou toda essa energia em potencial gravitacional!

Como falado anteriormente, a energia mecânica do sistema se conserva, portanto, aplicando a conservação da energia mecânica no ponto mais baixo e no ponto de retorno:

m v a 2 2 = m g h m á x

Lembrando que h m á x = L ( 1 - cos ⁡ θ ) , porém, neste caso, não conhecemos o θ :

m v a 2 2 = m g L 1 - cos ⁡ θ

m v a 2 2 = m g L - m g L cos ⁡ θ

Simplificando m :

v a 2 2 = g L - g L cos ⁡ θ

Colocando g L em evidência:

v a 2 2 = g L ( 1 - cos ⁡ θ )

v a 2 2 g L = 1 - cos ⁡ θ

Isolando cos ⁡ θ :

cos ⁡ θ = v a 2 2 g L - 1

Isolando o θ :

θ = cos - 1 ⁡ v a 2 2 g L - 1

Substituindo os valores:

θ = cos - 1 ⁡ 8 2 2 × 9,8 × 4 - 1 = 79 °

Passo 3

(c) Cara, vimos o tempo todo que a energia mecânica se conserva, então podemos pegar qualquer ponto da trajetória para calcular a energia mecânica! Vamos pegar o ponto mais baixo, pois é o mais tranquilo também, só tendo energia cinética nele.

Para calcular a energia mecânica total do sistema:

E M a = m v a 2 2 = 2 × 8 2 2

E M a = 64   J

Resposta

  1. v 1 = 4,98   m / s ;
  2. θ = 79 ° ;
  3. E M = 64   J .
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