Enunciado

Um professor de colégio sugeriu, certa vez, o seguinte método para medir a magnitude da aceleração de queda livre: pendure uma massa em um fio bem fino (comprimento L ) para fazer um pêndulo com a massa a uma altura H do chão, quando a massa estiver em seu ponto mais baixo P . Puxe o pêndulo até que o fio forme um ângulo θ 0 com a vertical. Bem acima do ponto P , coloque uma lâmina de barbear posicionada de modo a cortar o fio quando uma lâmina de barbear posicionada de modo a cortar o fio quando a massa passar pelo ponto P. Quando o fio é cortado, a massa é projetada horizontalmente e atinge o solo a uma distância horizontal D do ponto P . A idéia era que a medida de D , como função de θ 0 , deveria de alguma maneira determinar g . Fora algumas óbvias dificuldades experimentais, o experimento tinha uma falha fatal: D não depende de g ! Mostre que isto é verdade e que D depende apenas do ângulo θ 0 .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

A situação exposta no enunciado está descrita na figura abaixo:

Pelas regras de lançamento horizontal, temos que:

D = v 1 ∆ t

Precisamos então descobrir a velocidade e o tempo para avaliar do que depende D .

Usando conservação de energia mecânica, temos:

K 1 - K 0 + U 1 - U 0 = 0

Temos que U 1 = K 0 = 0 , logo:

K 1 - U 0 = 0

Substituindo as equações temos:

1 2 m v 1 2 - m g L 1 - cos ⁡ θ 0 = 0

A velocidade no ponto 1, será:

v 1 = 2 g L 1 - cos ⁡ θ 0

O tempo do movimento é dado a partir da equação da posição para aceleração constante:

∆ y = v 0 y ∆ t + 1 2 a y ∆ t 2

Sabemos que:

∆ y = - H

a y = - g

v 0 y = 0

Portanto:

- H = - 1 2 g ∆ t 2

∆ t = 2 H g

Logo, D vale:

D = 2 g L 1 - cos ⁡ θ 0 ⋅ 2 H g

D = 2 H L 1 - cos ⁡ θ 0

Resposta

D = 2 H L 1 - cos ⁡ θ 0

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