Enunciado

Um pêndulo é constituído por uma esfera uniforme maciça com massa M e R raio suspensa pela extremidade de uma haste leve. A distância entre o ponto de suspensão na extremidade superior da haste e o centro da esfera é igual a L. O momento de inércia do pêndulo I p para uma rotação em torno do ponto de suspensão é geralmente aproximado como M L 2 . a) Use o teorema dos eixos paralelos para mostrar que, se R for 5% de e se a massa da haste for desprezível, I p será somente maior do que . b) Se a massa da haste for 1% de M e se R for 5% de , qual será a razão entre em relação a um eixo passando pelo pivô e ML²?

Passo 1

Sabemos que o momento de inércia da esfera sólida em relação ao seu próprio eixo é.

I c m = 2 5 M R 2

Usando o teorema dos eixos paralelos, o momento de inércia em relação ao ponto pivô é.

I p = I c m + M L 2

I p = 2 5 M R 2 + M L 2

Passo 2

  1. Agora temos a seguinte condição

R = 5 % L

R = 0.05 L

I p = 2 5 M R 2 + M L 2 I p = 2 5 M ( 0.05 L ) 2 + M L 2 I p = 1.001 M L 2

Agora a %:

%     = I p - M L 2 M L 2 × 100 % = 1.001 M L 2 - M L 2 M L 2 × 100 % = 0.1 %

Então vemos que é apenas 0.1% maior que ML².

Passo 3

b) Como R é muito menor que L, podemos usar a fórmula do momento de inércia da haste de uma extremidade

I   = 1 3 m L 2 I   = 1 3 ( 1 % M ) L 2 I   = 1 300 M L 2 I   M L 2 = 1 300

Resposta

  1. 0.1%
  2. 1 300

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