Enunciado

11. Um pêndulo é construído amarrando-se uma bola de 500   g a um fio de 75   c m de comprimento. O pêndulo é deslocado lateralmente em 30 ° e, então, é liberado.

a . Qual é o módulo da velocidade da bola no ponto mais baixo da trajetória?

b . Até que valor de ângulo o pêndulo oscilará do outro lado?

Passo 1

Então, bora para mais uma?

Esse problema é um clássico problema de conservação de energia, tanto para o item ( a ) quando para o item ( b ) .

Antes de eu falar o que cada item vai necessitar vamos adotar uma coisa, vamos considerar a nossa origem do eixo y no ponto onde a corda é presa.

Teremos que usar a conservação de energia para situações diferentes para responder cada item.

Primeiro para o item ( a ) , usaremos a conservação de energia entre o momento em que o pêndulo é solto e o momento em que ela passa pelo ponto mais baixo de sua trajetória.

Com isso temos de cara que a velocidade inicial v 0 = 0 . Assim basta isolar a velocidade v 1 que é a velocidade no ponto mais baixo da trajetória e calculá-la.

Para o item ( b ) teremos que fazer a conservação de energia entre o ponto mais baixo da trajetória (onde já saberemos o valor de v 1 por conta do item ( a ) ) e o ponto onde a bola atinge o maior ângulo θ .

Teremos que a velocidade da bolinha quando ela atingir esse ponto vai ser zero, já que é o ângulo máximo que o pêndulo pode chegar. Com isso é só isolar θ e achar seu valor.

Vamos ao trabalho!

Passo 2

Começando com o item ( a ) teremos o seguinte:

K 0 + U 0 = K 1 + U 1

Abrindo essa expressão temos:

1 2 m v 0 2 + m g y 0 = 1 2 m v 1 2 + m g y 1

Simplificando um pouco as coisas, dividindo tudo por 1 / 2 e por m , temos:

v 0 2 + 2 g y 0 = v 1 2 + 2 g y 1

Como vimos no passo 1 temos que v 0 = 0 , assim:

2 g y 0 = v 1 2 + 2 g y 1

⇒ v 1 2 = 2 g ( y 0 - y 1 )

Usando o que adotamos como origem do eixo y de coordenadas, temos que:

y 0 = - 0,75 cos ⁡ 30 ° m

y 1 = - 0,75   m

Onde vamos usar o comprimento do fio em metros.

Assim nossa expressão para a velocidade fica da seguinte forma:

v 1 2 = 2 ( 9,8 ) ( - 0,75 cos ⁡ 30 ° + 0,75 )

⇒ v 1 2 = 1,97

Então temos que:

v 1 = 1,4   m / s

O item ( a ) já foi, vamos para o próximo.

Passo 3

Agora vamos resolver o item ( b ) . A conservação de energia fica da seguinte forma:

K 1 + U 1 = K 2 + U 2

Abrindo essa expressão temos:

1 2 m v 1 2 + m g y 1 = 1 2 m v 2 2 + m g y 2

Simplificando um pouco as coisas, dividindo tudo por 1 / 2 e por m , temos:

v 1 2 + 2 g y 1 = v 2 2 + 2 g y 2

Como vimos no passo 1 temos que v 2 = 0 , assim:

v 1 2 + 2 g y 1 = 2 g y 2

Agora, vamos isolar y 2 pois é nele que vamos ter o θ presente já que:

y 2 = - 0,75 cos ⁡ 30 °   m

Temos então que:

y 2 = v 1 2 2 g + y 1

Substituindo com o que sabemos, temos:

- 0,75 cos ⁡ θ = 1,4 2 2 9,8 - 0,75

⇒ cos ⁡ θ = 0,867

Então temos que:

θ ≅ 30 °

E com isso terminamos mais uma, aeeeeee!!!

Resposta

( a )

v 1 = 1,4   m / s

( b )

θ ≅ 30 °

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