Enunciado

Um pêndulo de torção é formado por um disco de metal com um fio soldado no centro. O fio é montado verticalmente e esticado. A figura ( A ) mostra o módulo τ do torque necessário para fazer o disco girar em torno do centro (torcendo o fio) em função do ângulo de rotação θ . A escala do eixo vertical é definida por τ 1 = 4,0.10 - 3   N . m . O disco é girado até θ = 0,200   r a d e depois liberado. A figura ( B ) mostra a oscilação resultante em termos da posição angular θ em função do tempo t . (a) Qual é o momento de inércia do disco em relação ao centro? (b) Qual é a velocidade angular máxima d θ / d t do disco? [Atenção: não confunda a frequência angular (constante) do MHS e a velocidade angular (variável) do disco, que normalmente são representadas pelo mesmo símbolo, ω . Sugestão: a energia potencial U do pêndulo de torção é igual a 1 2 k θ 2 , uma expressão análoga à da energia potencial de uma mola, U = 1 2 k x 2 .]

Passo 1

Belezera galerinha, a letra (a) quer que a gente calcule o momento de inércia desse pêndulo. Bora lá ver como fica isso ai.

A fórmula mais simples que a gente conhece pro período T do pêndulo de torção é dada como:

T = 2 π I κ

Onde T é o período, I é o momento de inércia e κ (a letra grega “kappa”) é a constante de torção. Vamos tentar isolar o momento de inércia, que é o que queremos calcular.

Elevando tudo ao quadrado:

T 2 = 2 π 2 I κ  

Agora isolando:

I = κ T 2 4 π 2

Beleza.

Passo 2

Pra calcular o momento de inércia precisamos então encontrar o valor de κ e o período de oscilação. Os gráficos vão nos ajudar, saca só.

O mais tranquilo é o período de oscilação, que é o tempo que o pêndulo demora pra repetir o movimento. Olhando pro segundo gráfico, que tem uma malha quadriculada, dá pra ver que:

T = 0,40   s

E agora pra achar o κ vamos ter que lembrar da definição dele no pêndulo de torção:

τ = - κ θ

O primeiro gráfico mostra exatamente essa relação ( τ em função de θ ), a única diferença é que ele só pega o módulo do torque.

Então para achar o κ , é só a gente calcular o coeficiente angular da reta no primeiro gráfico, logo:

κ = ∆ τ ∆ θ

Portanto:

κ = 4,0 × 10 - 3 0,200

κ = 0,02   Nm/rad

Passo 3

Agora vamos substituir esse valor, pra gente encontrar o momento de inércia, tal que:

I = κ T 2 4 π 2

Portanto:

I = 0,02 0,40 2 4 3,14 2

I = 8,11 × 10 - 5   kg. m 2

Passo 4

Agora, pra resolver a letra (b) vamos seguir a sugestão do problema. Usar as fórmulas de energia para o pêndulo de torção, bora lá.

Já que a ideia é achar a velocidade angular máxima, vamos usar a lei de conservação de energia e igualar a energia cinética máxima à energia potencial máxima:

K m á x = U m á x

Substituindo as fórmulas dessas duas energias no pêndulo de torção:

I ω m á x 2 2 = κ θ m á x 2 2

Temos que tomar cuidado agora, porque esse ω não é a frequência angular que costumamos representar com ele, na verdade, essa é a velocidade angular, que é a derivada do ângulo em relação ao tempo:

ω = d θ d t

Agora é só isolar o ω .

ω m á x = κ θ m á x 2 I

ω m á x = θ m á x . κ I

No segundo gráfico, dá pra ver que o ângulo máximo que o pêndulo atinge é θ m á x = 0,2   r a d .

Substituindo isso na fórmula:

ω m á x = 0,2 0,02 8,11 × 10 - 5

ω m á x = 3,14   rad/s

Resposta

(a) I = 8,11 × 10 - 5   kg. m 2

(b) ω m á x = 3,14   rad/s

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