Enunciado

Uma pequena esfera maciça com 0,25 c m de raio e uma massa de 0,56 g rola sem deslizar no interior de um grande hemisfério fixo com 15 c m de raio e um eixo de simetria vertical. A esfera parte do repouso no alto do hemisfério.

( a ) Qual é a energia cinética da esfera ao chegar ao ponto mais baixo do hemisfério?

( b ) Que fração da energia cinética da esfera no ponto mais baixo do hemisfério está associada à rotação em torno de um eixo que passa pelo centro de massa?

c Qual é o módulo da força normal que a esfera exerce sobre o hemisfério no instante em que chega ao ponto mais baixo?

Passo 1

Olá, tudo bem? Essa questão parece difícil, mas vou facilitar pra você =D

Vamos ver um esboço do que está acontecendo:

Quando a esfera está no alto do hemisfério ela possui apenas energia potencial gravitacional. Quando chegar ao fundo do hemisfério ela vai ter apenas energia cinética (de rotação e de translação, mas cinética apenas). Como o sistema não perde energia, podemos aplicar o teorema de conservação de energia nesses dois pontos:

E p g = E c = m g h = m g R - r = 0,56.10 - 3 . 9,8 . 15 - 0,25 . 10 - 2

E c = 81.10 - 3 J

Lembrando que a altura h é o deslocamento do centro de massa. Como a esfera tem dimensões, a altura que o centro de massa percorre vai ser h = R - r .

Passo 2

Para calcular a energia cinética rotacional vamos lembrar como é a fórmula:

E r o t = I ω 2 2

Mas como a esfera não desliza a relação v = ω r é válido. E lembrando também que o momento de inércia de uma esfera maciça é I = 2 / 5 m r 2 a energia rotacional fica:

E r o t = 1 2 . 2 5 m r 2 . v 2 r 2 = 1 5 m v 2

Passo 3

A energia cinética total vai ser a energia cinética de rotação (que calculamos agora pouco) mais a energia de translação ( m v 2 / 2 ), assim temos:

E t o t a l = 1 5 m v 2 + 1 2 m v 2 = 7 10 m v 2

E agora podemos saber qual fração da energia total corresponde a energia cinética de rotação:

E r o t E t o t a l = 1 5 m v 2 7 10 m v 2 = 1 5 . 10 7 = 10 35 = 0,28

Passo 4

E a força normal?

Na parte inferior do hemisfério temos a força peso P apontando para baixo e a força normal N apontando para cima. E resultante dessas forças é a força centrípeta (lembrando que força centrípeta é m v 2 / R ). Então pela segunda lei de Newton temos:

F r = m a

N - P = m v 2 ( R - r )

N = m v 2 ( R - r ) + m g

Mas agora precisamos encontrar o valor de v 2 . Dá uma espiada lá no passo 1 e relembra comigo a expressão que encontramos para a energia potencial gravitacional:

E p g = m g R - r

Agora vai lá no passo 3 e pega a expressão para a energia cinética total:

E c i n = 7 10 m v 2

E pela conservação de energia sabemos que essas duas expressões tem o mesmo valor, não é? Então podemos igualar as duas e achar uma expressão para v 2 :

7 10 m v 2 = m g R - r

v 2 = 10 7 g R - r

Agora sim podemos voltar ali em cima e substituir essa expressão pra v 2 na expressão da força normal:

N = m ( R - r ) . 10 7 g R - r + m g

Agora podemos substituir os valores:

N = 0,56.10 - 3 1 . 10 7 . 9,8 + 0,56.10 - 3 . 9,8

N = 0,0133 = 1,3.10 - 2 N

Resposta

( a )   81.10 - 3 J  

b 0,28

( c ) 1,3.10 - 2 N

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