Enunciado

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Uma pequena pedra afundando na água experimenta uma aceleração que decai exponencialmente, dada por a y t = g e - b t , onde b é uma constante positiva que depende da forma e tamanhão da pedra e das propriedades físicas da água. Baseado nisso, encontre expressões para a velocidade e posição da pedra como funções do tempo. Assuma que sua velocidade e posição iniciais são ambas nulas, e que + y aponta na vertical para baixo.

Passo 1

Vamos começar integrando a aceleração em relação ao tempo para encontrar a velocidade:

v t = ∫ 0 t a t   d t

v t = ∫ 0 t g e - b t   d t

v t = - g b e - b t + g b e - b ( 0 )

v t = g b 1 - e - b t

Passo 2

E agora podemos integrar mais uma vez para encontrar x ( t ) :

x t = ∫ 0 t v t d t

x t = ∫ 0 t g b 1 - e - b t   d t

x t = g b ∫ 0 t 1 - e - b t   d t

E a integral indefinida é:

x t = g b t + 1 b e - b t

Quando substituímos os limites de integração t = t e t = 0 , ficamos com:

x t = g b t + 1 b e - b t - g b 0 + 1 b e 0

x t = g b e - b t + t - 1

Resposta

A velocidade é v t = g b 1 - e - b t , e a posição é x t = g b e - b t + t - 1 .

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