Enunciado

Uma rocha cai através da água com aceleração continuamente decrescente. Assuma que a aceleração da pedra como uma função da velocidade é dada por a y = g - b v y , onde b é uma constante positiva. (A direção + y é vertical para baixo.) (a) Quais são as unidades de b no SI? (b) Prove matematicamente que se a pedra é largada do repouso no tempo t = 0 , a aceleração irá depender exponencialmente do tempo de acordo com a y t = g e - b t . (c) Qual é a rapidez terminal para a pedra em termos de g e b ? (Veja o problema 38 para uma explicação do fenômeno da rapidez terminal).

Passo 1

(a) Vamos dar uma olhada na função em que b aparece:

a y = g - b v y

A ideia aqui é que todos os termos tenham unidades de aceleração, o que no SI quer dizer m / s 2 , isso vale para o termo b v y também:

b v y = m s 2

A velocidade v y estará em metros por segundo, então:

b m s = m s 2

b = 1 s

Então b deve estar em s - 1 .

Passo 2

(b) Vamos lembrar da relação entre velocidade e aceleração:

a = d v d t

Substituindo isso na função:

d v d t = g - b v

Isso é uma equação diferencial separável, e podemos resolver apenas isolando as variáveis e integrando dos dois lados:

∫ 0 v d v g - b v = ∫ 0 t d t

- 1 b ln ⁡ g - b v g   = t

ln ⁡ g - b v g = - b t

E agora, para isolar v , vamos aplicar e x p ⁡ ( x ) nos dois lados da equação:

g - b v = g e - b t

v = g b 1 - e - b t

E só precisamos derivar em relação ao tempo para encontrar a aceleração:

a = d v d t

a = - g b - b e - b t

a = g e - b t

Passo 3

(c) Por último queremos saber qual a rapidez terminal da pedra caindo no lado. Para isso precisamos dar uma olhada na função que encontramos para v ( t ) :

v = g b 1 - e - b t

Se essa função se aproxima de algum limite conforme o tempo passa, esse limite será a rapidez terminal:

lim t → ∞ ⁡ v ( t ) = v t e r

Quando t → ∞ , a exponencial tende a e - ∞ , que tende a zero, então:

v t e r = g b 1 - 0 = g b

Resposta

(a) A constante b deve estar em s - 1 .

(b) a = g e - b t .

(c) v t e r = g / b .

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