Enunciado

Para pequenas partículas em queda livre na atmosfera, a resitência do ar é proporcional à velocidade, ou seja, orientando o eixo z vertocalmente para baixo, é da forma - ρ z ˙   ρ > 0 . Considere a queda livre de uma tal partícula a partir de uma posição inicial z 0 e velocidade inicial v 0 , levando em conta a força peso (ao contrário do Problema 5). Ache z ( t ) . Sugestão: Usando o método da seção 4.3 (a), procure uma solução particular da equação diferencial do movimento, que é inomogênea. Para isto, leve em conta que, para tempos grandes, a partícula tende a cair com velocidade constante (por quê?), que se chama velocidade terminal.

Passo 1

Pela segunda lei de Newton, temos a seguinte relação:

∑ F = - ρ z ˙ + m g

m z ¨ = - ρ z ˙ + m g

m z ¨ + ρ z ˙ = m g

Vamos dividir tudo por m e definir γ = ρ / m :

z ¨ + γ z ˙ = g

Essa é uma EDO inomogênea. Para resolver ela nós vamos primeiro encontrar uma solução para a forma homogênea:

z ¨ + γ z ˙ = 0

Ou seja, nós basicamente ignoramos as constantes e resolvemos dessa forma.

Passo 2

A melhor forma de resolver essa EDO homogênea é chutando uma solução exponencial:

z h t = z 0 e ω t

Substituindo isso, temos:

m z 0 ω 2 e ω t + ρ z 0 ω e ω t = 0

Dividindo tudo por z 0 e ω t :

m ω 2 + ρ ω = 0

ω ω + γ = 0

E as soluções possíveis são:

ω 1 = 0 ω 2 = - γ

Então a solução geral da homogênea é:

z h t = A e - γ t + B

Passo 3

Agora vamos procurar uma solução particular par a EDO inomogênea:

z ¨ + γ z ˙ = g

Quando chutamos uma solução, é uma boa ideia usar o polinômio do menor grau possível:

z p t = C t + D

Perceba que uma solução com grau ainda menor, como z p t = C nunca poderia satisfazer a EDO, já que a primeira derivada já seria zero.

Vamos substituir z p t na equação:

d 2 d t 2 C t + D + γ d d t C t + D = g

C = g γ

Então:

z p t = g γ t + D

Beleza, agora nossa solução geral vai ser a soma das duas soluções que encontramos até aqui:

z t = z h t + z p t

z t = A e - γ t + B + g γ t + D

E podemos unir as duas constantes que ficaram “soltas”, ( B + D ) → B , então:

z t = A e - γ t + g γ t + B

Passo 4

Agora vamos impor as condições iniciais para determinar as constantes A e B :

z 0 = z 0 z ˙ 0 = v 0

Começando pela primeira:

z 0 = A e 0 + g γ 0 + B = z 0

A + B = z 0

E para aplicar a segunda precisamos calcular a derivada de z t :

z ˙ t = - γ A e - γ t + g γ

z ˙ 0 = - γ A + g γ = v 0

A = 1 γ g γ - v 0  

Assim ficamos com um sistema de duas equações e duas variáveis:

A + B = z 0 A = 1 γ g γ - v 0

Substituindo a segunda na primeira:

1 γ g γ - v 0 + B = z 0

B = z 0 + 1 γ v 0 - g γ

Passo 5

Então nossa solução geral é:

z t = 1 γ g γ - v 0 e - γ t + g γ t + z 0 + 1 γ v 0 - g γ

Vamos reorganizar um pouco:

z t = g γ 2 e - γ t - v 0 γ e - γ t + g γ t + z 0 + 1 γ v 0 - g γ 2

z t = v 0 γ - g γ 2 1 - e - γ t + g γ t

Pronto.

Resposta

A função é z t = v 0 γ - g γ 2 1 - e - γ t + g γ t .

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