Enunciado

Um pequeno avião parte do ponto A para chegar a um aeroporto que está 520 km ao norte, no ponto B. A rapidez do avião no ar é de 240 km/h e há um vento constante de 50 km/h soprando diretamente para o sudeste. Determine para onde o avião deve apontar e o tempo de vôo.

Passo 1

Oi, pessoal, tudo bem? O avião vai se movimentar no ar, só que o ar está em movimento (na velocidade do vento). Quando temos um objeto que se move sobre algo que se move também é uma dica para gente pensar em termos de velocidade relativa.

Nesse tipo de questão, a primeira coisa é montar a equação da soma vetorial entre as velocidades presentes.

No nosso caso, a velocidade do avião em relação ao solo v → A S é a soma da velocidade do avião em relação ao vento v → A V com a velocidade do vento em relação ao solo  v → V S :

v → A S = v → A V + v → V S

E depois, o que a gente precisa fazer é esquematizar essa soma, entendendo quem são cada uma dessas velocidades. O esquema fica assim:

A velocidade do vento está sendo representada por v → V S   e ela está fazendo um ângulo de 45 ° com a horizontal porque a questão diz que ela aponta para a direção sudeste, que é a direção entre o Sul e o Leste. E ela vale 50   k m / h .

A velocidade do avião em relação ao solo chamamos de  v → A S (que dita a direção da trajetória) e ela aponta exatamente para o norte, que é pra onde a gente quer que o avião vá para poder chegar no ponto B, show?

E   v → A V é a velocidade do avião em relação ao ar que vale 240   k m / h . Aqui estamos supondo que o bico do avião faz um ângulo θ com a vertical e que a velocidade que ele tem em relação ao ar está nessa direção.

Aí você me pergunta, mas porque essa suposição? OHH, se liga, o vento está “soprando” na direção sudeste, se o bico do meu avião aponta na direção mostrada na figura, o vento irá modificar o movimento do avião de modo que ele consiga ir em direção ao aeroporto, sacou?

Depois de tudo isso, a gente vê o que a questão quer. Ela quer a direção da velocidade do avião em relação ao vento, ou seja, θ . E quer também o tempo de vôo. Bora lá descobrir!

Passo 2

Como a questão nos pergunta pra onde aponta o bico do avião, o que devemos descobrir é quem é esse ângulo θ .

Vimos que

v → A S = v → A V + v → V S

Isso vale também só para as componentes x das velocidades. Então a gente pode escrever:

v A S X = v A V x + v V S x

Vamos escrever cada uma dessas componentes. Temos:

v A S x = 0

Porque essa velocidade é somente vertical. Temos também:

v A V x = - v A V ⋅ sen ⁡ θ

Seno porque θ é oposto ao eixo x e o sinal de negativo porque essa velocidade está apontanto para o sentido negativo de x . E por fim:

v V S x = v V S ⋅ cos ⁡ 45 °

Cosseno porque esse ângulo de 45 ° está colado num eixo paralelo ao eixo x .

Passo 3

Aplicando para a direção x   a equação que relaciona esses três velocidades temos:

v A S X = v A V x + v V S x

0 = v V S ⋅ cos ⁡ 45 ° - v A V ⋅ sen ⁡ θ

Então:

v V S ⋅ cos ⁡ 45 ° = v A V ⋅ sen ⁡ θ

s e n   θ = v V S ⋅ cos ⁡ 45 ° v A V

Para acharmos o ângulo teremos que aplicar a função inversa do seno:

θ = sen - 1 ⁡ v V S ⋅ cos ⁡ 45 ° v A V

Agora só precisamos substituir os valores dados na questão:

v V S = 50   K m / h

v A V = 240   K m / h  

Substituindo os valores:

θ = sen - 1 ⁡ 50 ⋅ 2 2 240

θ = 8,5 °

Passo 4

Para descobrir o tempo de vôo precisamos encontrar a velocidade do avião em relação ao solo, já que ela que rege nossa trajetória.

Para isso, vamos olhar para a direção y do movimento e achar as componentes das velocidades nesse eixo e usar a equação da soma vetorial. Como v A S   está só na vertical, temos que:

v A S y = v A S

E as outras a gente pode achar de forma análoga ao que fizemos para o eixo x :

v A V y = v A V ⋅ cos ⁡ θ

v V S y = - v V S ⋅ sen ⁡ 45 °

Aplicando para a direção y a equação que relaciona as três velocidades:

v → A S = v → A V + v → V S

v A S y = v A V y + v V S y

v A S = v A V ⋅ cos ⁡ θ - v V S ⋅ sen ⁡ 45 °

Substituindo os valores dados na questão e θ = 8,5 ° :

v A S = 240 ⋅ cos ⁡ 8,5 ° - 50 ⋅ sin ⁡ 45 °

v A S = 20 2   k m / h

Passo 5

Agora que sabemos a velocidade do avião com relação ao solo, podemos associar com a distância entre A e B para achar o tempo.

v = Δ S Δ t

∆ t = ∆ S v

∆ t = 520 20 2

∆ t = 2,5 7   h

Resposta

θ = 8,5 ° no sentido anti horário a partir do norte. O tempo de vôo foi de 2,57 horas.

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