Enunciado

Partindo do repouso no cais, um barco a motor, em um lago, aponta para o norte enquanto ganha rapidez a uma taxa constante de 3,0 m/s² durante 20 s. O barco, então aponta para o oeste e continua por 10 s com a rapidez que tinha aos 20 s. (a) Qual é a velocidade média do barco durante a viagem de 30 s? (b) Qual é a aceleração média do barco durante a viagem de 30 s? (c) Qual é o deslocamento do barco durante a viagem de 30 s?

Passo 1

a) Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

O enunciado nos diz que o barco executa dois movimentos. Em um primeiro momento, de t 0 = 0 a t 1 = 20 s segundos, o barco se movimenta com aceleração constante e nos próximos 10 segundos, ele se movimenta com velocidade constante.

Nos é perguntada a velocidade média durante os 30 segundos. A definição de velocidade média nos diz:

v → m é d = ∆ r → ∆ t

Δ t é o tempo decorrido, então vai ser os 30   s . Já Δ r → é o deslocamento do nosso barco. Como tivemos dois movimentos diferentes, podemos dizer que esse vetor deslocamento é a soma de dois vetores deslocamentos:

Δ r → = Δ r → 1 + Δ r → 2

Substituindo essas coisas na nossa expressão para a velocidade:

v → m é d = Δ r → 1 + Δ r → 2 30   s

A ideia é a gente calcular Δ r → 1 que é o deslocamento para o movimento com aceleração constante e Δ r → 2 que é o deslocamento para velocidade constante. Vamos lá!

Obs: Vamos dizer que o norte é o sentido positivo do nosso eixo y e o leste é o sentido positivo do eixo x (oeste fica sendo o sentido negativo de x )

Passo 2

No primeiro momento temos aceleleração constante. Então a gente pode usar as expressões para esse tipo de movimento. No caso escalar, o deslocamento Δ S com aceleração constante era dado por

Δ S = v 0 t + 1 2 a t

Como temos grandezas vetoriais, podemos usar a mesma expressão, mas mudando a notação para achar o vetor deslocamento Δ r → 1 :

∆ r → 1 = v → 0 t 1 + 1 2 a → t 1 2

Como velocidade inicial é nula pois o barco sai do repouso, temos v → 0 = 0 :

∆ r → 1 = 1 2 a → t 1 2

Para o segundo momento, temos um movimento com velocidade constante. No caso escalar, o deslocamento era dado por

Δ S = v t

No caso vetorial, Δ r → 2 fica bem parecido, o que muda é que o deslocamento e a velocidade agora são vetores:

∆ r → 2 = v → 2 t 2

Agora podemos substituir os valores:

∆ r → = ∆ r → 1 + ∆ r → 2

∆ r → = 1 2 a → t 1 2 + v → 2 t 2

Temos todas essas informações menos v → 2 . Vamos achar essa bonita!

Passo 3

O enunciado diz que a rapidez final do primeiro momento é igual a rapidez do segundo momento, logo, precisamos achar essa rapidez final.

Rapidez é o módulo da velocidade e nosso primeiro movimento é retilíneo, então vamos usar a expressão escalar mesmo para achar essa fofa.

Para o caso escalar, quando a gente queria achar a rapidez final de um deslocamento com aceleração constante, a gente usava:

v 1 = v 0 + a t

A velocidade inicial do barco é nula, então v 0 = 0 . A aceleração tem módulo 3 m / s 2 . Já o tempo decorrido é o tempo do primeito movimento, que é t = 20   s . Substituindo:

v 1 = 0 + 3 ⋅ 20

v 1 = 60

Essa é rapidez final do barco do primeiro momento. Que vai ser a rapidez de todo o segundo percurso. Porém, o movimento no segundo momento será na direção oeste, sentido negativo de x. Então a velocidade do segundo momento vai ter módulo 60   m / s e direção - i ^ :

v → 2 = 60 ( - i → )

Passo 4

Agora a gente pode calcular o deslocamento total:

∆ r → = 1 2 a → t 1 2 + v → 2 t 2

A aceleração do primeiro momento está na direção norte, logo ela tem direção j ^ e vale a → = 3   j ^ . Assim temos:

∆ r → = 1 2 3 j ^ ⋅ 20 2 - 60   i → ⋅ 10

∆ r → = 600 j ^ - 600 i ^

A velocidade média será:

v → m é d = ∆ r → 30   s

v → m é d = 600 j ^ - 600 i ^ 30

v → m é d = 20 j ^ - 20 i ^ m / s

Passo 5

b) A aceleração média na forma vetorial é dada por:

a → m é d = ∆ v → ∆ t = v → f + v → i ∆ t

Vamos calcula-la para todo o percurso, então Δ t = 30   s

A velocidade inicial de todo o percurso v → i é nula porque o barco sai do repouso. Já a velocidade final v → f é a velocidade final do segundo momento. Já que a velocidade dele é constante, e vale v 2 → - 60 i ^ , ela vai ser a velocidade final v → f

Substituindo na expressão da aceleração:

a → m é d = - 60 i → + 0 30

a → m é d = ( - 2   m / s 2 ) i ^

Passo 6

c) Vimos no item (a) que o deslocamento é a soma do deslocamento dos dois movimentos e vale:

Δ r → = Δ r → 1 + Δ r → 2

∆ r → = 1 2 a → t 1 2 + v → 2 t 2

∆ r → = 1 2 3 j ^ ⋅ 20 2 - 60   i → ⋅ 10

∆ r → = 600 j ^ - 600 i ^

Resposta

a ) v → m é d = - 20 i ^ + 20 j ^ m / s

b ) a → m é d = ( - 2   m / s 2 ) i ^

c ) ∆ r → = - 600 i ^ + 600 j ^

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