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Um pequeno foguete de 8 k g queima combustível que exerce uma força de baixo para cima, que varia com o tempo, sobre o foguete. Essa força obedece à equação F = A + B t 2 . Medidas mostram que no instante t = 0 a força é 100 N e no final dos primeiros 2 s , 150 N .

  1. Ache as constantes A e B , incluindo suas unidades no S . I .
  2. Ache a força resultante sobre esse foguete e sua aceleração:
    1. No instante após o combustível se inflamar;
    2. 3 s após a ignição;
    3. Suponha que você estivesse usando esse foguete no espaço, distante de toda gravidade. Qual seria sua aceleração após 3 s de sua ignição?

Passo 1

Temos dois conjuntos de dados: em t = 0 , F = 100 e também t = 2 , F = 150 . Vamos substituir na equação da força e montar um sistema linear:

A + B ⋅ 0 2 = 100 A + B ⋅ 2 2 = 150

Da primeira linha já podemos determinar o valor de A :

A + B ⋅ 0 = 100

A = 100

E substituindo o valor de A na segunda equação teremos o valor de B :

A + 4 B = 150

100 + 4 B = 150

4 B = 150 - 100

4 B = 50

B = 50 4 = 12,5

E quando as unidades? Notem que a unidade final deve ser de força, ou seja, Newton N . Como a constante A está sozinha, ela deve ter unidade de força, então A = 100 N .

E B ? Bom, ele está multiplicado por um fator t 2 , que tem unidade de s 2 . Mas a multiplicação dos dois tem que fornecer um número com unidade de Newton, então temos:

B ⋅ s 2 = [ N ]

Então a unidade de B deve ser N / s 2 , saca só:

N s 2 ⋅ s 2 = [ N ]

Assim B = 12,5 N / s 2 .

Certo?

Passo 2

A força resultante é aquela em qual são levadas em conta todas as forças sobre o sistema. Num foguete em movimento vertical teremos não só a força feita pelo motor, dada pela equação: F = 100 + 12,5 t 2 , mas também a força gravitacional que é constante, depende apenas da massa do objeto, e aponta sempre para baixo F g r a v = - 9,8 ⋅ m . Levando em conta essas duas forças, a força resultante sobre o foguete vai ser:

F r e s = F - F g r a v

Como a massa do foguete é de 8 k g , então a força gravitacional é F g r a v = - 78,4 N . Assim a força resultante em função do tempo é:

F r e s = 100 + 12,5 t 2 - 78,4

Passo 3

Agora o problema pede a força resultante e a aceleração em três situações distintas. Como temos a equação da força resultante, podemos descobrir cada uma delas. Saca só, pra primeira situação:

  1. Quando o combustível inflama é no instante inicial, ou seja, em t = 0 . Assim a força resultante vai ser:
  2. F r e s = 100 + 12,5 ⋅ 0 - 78,4 = 21,6 N

    E sua aceleração, pela segunda lei de Newton é:

    F r e s = m ⋅ a

    a = F r e s m = 21,6 8 = 2,7 m / s 2

  3. Na segunda situação, o problema pergunta quanto vale a aceleração e a força resultante 3 s após a ignição. Então fazendo t = 3 s na equação pra F r e s temos:
  4. F r e s = 100 + 12,5 ⋅ 3 2 - 78,4 = 134,1 N

    E pela segunda lei a aceleração é:

    a = F r e s m = 134,1 8 = 16,8 m / s 2

  5. Na terceira e última situação temos que agora a força gravitacional não é mais levada em consideração, sendo assim, a força resultante vai ser dada apenas pela força do foguete:

F r e s = 100 + 12,5 ⋅ t 2

Queremos a força resultante 3 s após a ignição, então fazendo t = 3 s na força resultante teremos:

F r e s = 100 + 12,5 ⋅ 3 2 = 212,5 N

E pela segunda lei a aceleração é:

a = F r e s m = 212,5 8 = 26,56 m / s 2

Beleza?

Resposta

a ) A = 100 N ; B = 12,5 N / s 2

b )   i ) 21,6 N ;   2,7 m / s 2       i i ) 134,1 N ; 16,8 m / s ²     i i i ) 212,5 N ; 26,56 m / s ²  

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