Enunciado

Perfuramos um túnel da superficie até o centro da Terra (Figura 12.25). Como no Exemplo 12.10 (Seção 12.6), considere a hipótese bastante irreal de que a densidade da Terra seja constante. Com essa aproximação, a força gravitacional exercida sobre um objeto de massa m no interior da Terra situado a uma distancia r do centro da Terra possui módulo dado por F g = G m T m r / R T 3 (como deduzido no Exemplo 12.10) e aponta para o centro da Terra. a) Deduza uma expressão para a energia potencial gravitacional U r   do sistema objeto-Terra em função da distancia entre o objeto e o centro da Terra. Considere a energia potencia gravitacional igual a zero quando o objeto está no centro da Terra. b) Se um objeto fosse liberado dentro do tunel na superficie terrestre, qual seria sua velocidde quando ele atingisse o centro da Terra?

Passo 1

E aí pessoal.

Bom, vamos comparar F T com a Lei de Hooke.

A Terra tem massa m T = 5,97 × 10 24   k g e raio R T = 6,38 × 10 6   m .

Passo 2

  1. Para F x = - k x ,
  2. U = 1 2 k x 2 .

    A força aqui está na mesma forma, por analogia

     

    U r = G m T m 2 R T 3   r 2 .

    Isso também é dado pela integral de F g de 0 a r em relação à distância.

    Passo 3

  3. Na parte (a), a energia potencial gravitacional inicial é

G m T m 2 R T .

Equacionar energia potencial inicial e energia cinética final (energia cinética inicial e energia potencial final são zero) fornece

v 2 = G m T R T ,

Então

v = 7,90 × 10 3   m / s .

Passo 3

Quando r = 0 , U r = 0 , conforme especificado no problema.

Resposta

v = 7,90 × 10 3   m / s

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