Enunciado

Uma espaçonave está viajando ao longo da reta que liga o centro da Terra ao centro da Lua. A que distância da Terra a força gravitacional total que a Terra e a Lua exercem sobre a a nave é zero?

Passo 1

Para que a força gravitacional total sobre a nave se anule, precisamos ter a seguinte situação:

Onde F 1 e F 2 são as forças gravitacionais exercidas sobre a nave pela Terra e pela Lua, respectivamente.

Perceba que nós só não representamos as forças de reação que a nave exerce sobre a Terra e a Lua porque elas não importam para nós nesse caso.

Passo 2

Agora vamos lembrar das expressões para essas forças:

F 1 = G M t e r r a m r 2

F 2 = G M l u a m d - r 2

Agora vamos igualar as duas expressões:

G M t e r r a m r 2 = G M l u a m d - r 2

Podemos dividir tudo por G m e multiplicar cruzado:

M t e r r a d - r 2 = M l u a r 2

Agora vamos isolar os termos ao quadrado e tirar a raiz dos dois lados:

d - r 2 r 2 = M l u a M t e r r a

d - r r = M l u a M t e r r a

d r - 1 = M l u a M t e r r a

r = d M l u a M t e r r a + 1

Agora é só substituir os valores e calcular:

r = 3,82.10 8 7,36.10 22 5,98.10 24 + 1 = 3,44   .   10 8   m

Resposta

A força será zero quando a distância até o centro da Terra for r = 3,44.10 8   m .

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