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Pingentes de gelo. A água cobre a superfície de um pingente de gelo ativo (em processo de crescimento) e forma um tubo curto e estreito na extremidade do eixo central (Figura). Como a temperatura da interface água-gelo é 0 ° C , a água do tubo não pode perder energia para os lados do pingente ou para a ponta do tubo porque não há variação de temperatura nessas direções, A água pode perder energia e congelar apenas transferindo energia para cima (através de uma distância L ) até o alto do pingente, onde a temperatura T r , pode ser menor que 0 ° C . Suponha que L = 0,12   m e T r = - 5 ° C . Suponha também que a seção reta do tubo e do pingente é A . Qual é, em termos de A , (a) a taxa com a qual a energia é transferida para cima e (b) a taxa com a qual a massa é convertida de água para gelo no alto do tubo central? (c) Qual é a velocidade com a qual o pingente se move para baixo por causa do congelamento da água? A condutividade térmica do gelo é 0,400 W m . K e a massa específica da água é 1000   k g / m 3 .

Passo 1

(a) Beleza, a situação pode parecer meio complicada, mas se a gente for direto ao ponto dá tudo certo, quer ver?

A questão pediu a taxa com a qual a energia é transferida para cima. Qual é a fórmula da taxa de transferência de energia (na forma de calor)?

P = k A Δ T L

A condutividade térmica k , o a altura L do pingente já foram dadas no enunciado. Além disso, a questão quer a resposta em termos de A , então não precisamos achar um valor pra ele.

E a diferença de temperatura? Isso também foi dado. A temperatura é 0 ° C na extremidade de baixo, e - 5 ° C na base do pingente.

Então tá, vamos substituir isso tudo:

P = ( 0,400 ) ( A ) ( 0 - - 5,0 ) 0,12 = 50 3 A   W

O que é aproximadamente:

P ≅ 16,7   A   W

Passo 2

(b) Agora que a gente já sabe a taxa com que o calor flui pra cima, fica tranquilo descobrir a taxa com que água é convertida de água pra gelo.

Se a taxa de transferência de calor é 16,7   A   W , isso quer dizer que são transferidos 16,7   A joules a cada segundo.

Só que a gente precisa fazer é descobrir quanta água dá pra congelar com 16,7 joules, e essa vai ser a quantidade congelada a cada segundo!

Q F = L f m

16,7   A = 3,33.10 5 m

m = 16,7   A 3,33.10 5 = 5,02   .   10 - 5   A   k g

Pronto, essa é a massa de água que é congelada a cada segundo!

d m d t = 5,02   .   10 - 5   A   k g / s

Resolvido!

Passo 3

Agora vamos pensar o seguinte: conforme mais água vai sendo congelada, o pingente de gelo vai ficando mais comprido, concorda?

A ideia é calcular a velocidade do aumento da altura do pingente, supondo que a área da seção reta dele seja A .

A gente já viu que a massa de água ali aumenta nessa taxa aqui:

d m d t = 5,02   .   10 - 5   A   k g / s

Como a gente pode relacionar isso com a altura do pingente? Vamos pensar na fórmula da massa específica:

ρ = m V

m = ρ V

Se a gente derivar isso em relação ao tempo:

d m d t = d d t ( ρ V )

Como a massa específica da água é constante, aquela derivada ali só afeta o volume:

d m d t = ρ . d d t ( V )

E a fórmula do volume (aproximando a ponta do pingente como um cilindro) é:

V = A h

E como esse A também é constante, a derivada do V só vai “afetar” o h :

d m d t = ρ . d d t ( A h )

d m d t = ρ A . d d t ( h )

Ótimo, esse d h / d t é exatamente o que a gente quer calcular!

Passo 4

(c) Vamos começar isolando o que a gente quer achar:

d m d t = ρ A . d d t ( h )

d h d t = d m d t ( ρ A )

d h d t = 5,02.10 - 5   A ( 1000 ) ( A )

d h d t = 5,02   .   10 - 8   m / s

Pronto, essa é a resposta da letra (c).

Resposta

(a) P = 16,7     A   W .

(b) 5,02   .   10 - 5   A k g s .

(c) d h d t = 5,02   .   10 - 8   m / s .

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