Enunciado

A posição de um corpo oscilando em uma mola é dada por x = A sen ⁡ ω t , onde A e ω são constantes. A = 5,0   c m , e ω = 0,175   s - 1 . (a) Plote x como uma função de t para 0 ≤ t ≤ 36   s . (b) Meça a inclinação do seu gráfico em t = 0 para encontrar a velocidade nesse instante. (c) Calcule a velocidade média para uma série de intervalos, começando em t = 0 e terminando em t = 6,0 , 3,0 , 2,0 , 1,0 , 0,50 e 0,25   s . (d) Calcule d x / d t para encontrar a velocidade em t = 0 . (e) Compare os seus resultados nas partes (c) e (d) e explique porque seus resultados na parte (c) se aproximam dos seus resultados da parte (d).

Passo 1

(a) Nesse caso só precisamos substituir os valores e desenhar o gráfico:

x ( t ) = 5,0   c m sen ⁡ 0,175   s - 1   t

Esse é um gráfico de x ( t ) (em c m ) em função de t (em s ).

Passo 2

(b) Para calcular a velocidade nesse instante precisamos desenhar uma reta tangente ao gráfico no ponto t = 0 , e então calcular sua inclinação.

Outra forma de fazer isso é lembrar que a função sen ⁡ ( u ) é muito próxima da função f u = u quando t é próximo de zero.

E então no entorno do zero nossa função é muito próxima de x = 5,0   c m 0,175 t , que tem inclinação 0,875   c m / s . Essa é a velocidade instantânea da função nesse ponto.

Passo 3

(c) Para calcular a velocidade média em cada um dos intervalos, precisaremos usar a seguinte fórmula:

v = Δ x Δ t

Vamos organizar os dados em uma tabela:

Passo 4

(d) Agora vamos calcular a velocidade em t = 0 usando a definição:

v = d x d t

v = d d t   ( 5,0 sen ⁡ 0,175 t )

v = ( 5,0 ) ( 0,1750 ) ( cos ⁡ 0 )

v = 0,875   c m / s

Esse resultado é bem próximo do que calculamos na letra (c). Isso acontece porque, conforme os intervalos Δ t e Δ x ficam menores na nossa tabela da letra (c), mas nos aproximamos de calcular a derivada da função naquele ponto, que é justamente a definição da velocidade.

Resposta

(a) Gráfico.

(b) v = 0,875   c m / s .

(c) Tabela.

(d) v = 0,875   c m / s .

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