Enunciado

Um corpo, de 2,0 kg de massa, é preso à extremidade superior de uma mola cuja extremidade inferior está presa ao solo. O comprimento da mola frouxa é 8,0   c m , e o comprimento da mola quando o corpo está em equilíbrio é 5,0   c m . Quando o objeto está em repouso em sua posição de equilíbrio, ele recebe um forte golpe para baixo com um martelo, de modo que sua velocidade inicial é de 0,30 m / s. (a) Até que altura máxima acima do piso o objeto eventualmente se eleva? (b) Quanto tempo leva para o objeto atingir sua altura máxima pela primeira vez? (c) A mola nunca fica descomprimida? Qual velocidade inicial mínima deve ser dada ao objeto para que a mola não seja tensionada em algum momento.

Passo 1

a) Queremos a altura máxima do objeto em relação ao solo. Olha esse esqueminha:

Podemos lembrar que amplitude A é a distância máxima do corpo em relação a sua posição de equilíbrio (o corpo oscila em relação a posição de equilíbrio). O enunciado diz que o objeto tem seu equilíbrio numa altura de 5   c m .

Então a altura máxima do objeto em relação ao solo vai ser:

h = A + 5.0 c m

Vamos achar essa amplitude.

Passo 2

O enunciado disse deu a velocidade inicial. Essa velocidade é a velocidade do objeto quando está na posição de equilíbrio. Aí precisamos lembrar que a velocidade na posição de equilíbrio é máxima.

Logo, podemos entender que essa velocidade inicial é a velocidade máxima do objeto. Então o enunciado nos dá a velocidade máxima. Assim, podemos usar a fórmulinha que relaciona a velocidade máxima do MHS com a amplitude:

v m a x = w A

Sendo w a frequência angular. Escrevendo a equação de w

w = k m

Isolando A da fórmula da velocidade máxima e substituindo w:

A = v m a x m k

Onde m é a massa do objeto e k é a constante da mola.

Passo 3

E agora precisamos obter k, para isso, vamos usar a Segunda Lei de Newton para o objeto quando ele está na posição de equilíbrio, antes de receber a pancada.

Ele tem a força peso o puxando para baixo e tem a força elástica o empurrando para cima. Mas ele está parado. Então o equilíbrio de forças na vertical é

F e l - P = 0

k ∆ y - m g = 0

k = m g ∆ y

Aí muita atenção. Esse Δ y é a diferença entre a posição do objeto 5   c m e a posição da mola quando ela está frouxa 8   c m . Então é

Δ y = 8 - 5 = 3   c m = 0,03   m

Substituindo na equação da amplitude o que achamos para k

A = v m a x m m g ∆ y = v m a x ∆ y g

E agora substituindo na equação de h que determinamos lá em cima no passo 1

h = v m a x ∆ y g + 5.0 c m

Ficamos com:

h = 0.30 m / s 0.03 m 9.81 m / s 2 + 5.0 c m

Para esse calculo ficar direitinho, precisamos escrever os centímetros em metros:

h = 0.30 m / s 0.03 m 9.81 m / s 2 + 0,05   m = 0,067   m = 6.7   c m

Passo 4

b) Queremos o tempo para a mola chegar na altura máxima da primeira vez.

Vamos refletir. Digamos que o movimento tem um período T . Ele faz 4 caminhos dentro desse tempo.

1. O nosso objeto é batido para baixo, então ele começa saindo do equilíbrio e chega ao ponto de altura mínima.

2. Saí da altura mínima e sobe para o ponto de equilíbrio.

3. Do ponto de equilíbrio, ele sobe mais para o ponto de altura máxima

4. Da altura máxima, ele desce para voltar ao ponto de equilíbrio.

Ele leva 1 4 T para percorrer cada caminho desse. Assim, o tempo necessário para o objeto atingir a altura máxima pela primeira vez é três quartos do período:

t = 3 4 T

Vamos então escrever a equação do período para o movimento:

T = 2 π m k

Substituindo o mesmo k que achamos antes:

T = 2 π m m g ∆ y = 2 π ∆ y g

Colocando na expressão do tempo que escrevemos acima:

t = 3 4 2 π ∆ y g = 3 2 π ∆ y g

Substituindo os valores das grandezas:

t = 3 2 π 0.03 m 9.81 m / s 2 = 0.26   s

Passo 5

c) Primeiro ele pergunta se a mola que a gente tá usando fica frouxa em algum momento. Ou seja, fica na altura onde ela não está tensionada de 8   c m .

Cara, vimos que a altura máxima do objeto em relação ao solo é de 6,7   c m , então esse é o ponto máximo que a mola chega, assim ela não chega em 8   c m . E por isso, não fica frouxa no nosso movimento.

Passo 6

Vamos para a segunda parte da letra (c).

Nós queremos a velocidade inicial mínima para que a mola em algum momento esteja frouxa, ou seja, que esteja na altura sem tensão de 8   c m . Como queremos a velocidade mínima, podemos pensar que a mola só fica frouxa quando objeto está na altura máxima dele.

Mas lembra que essa velocidade inicial é a velocidade máxima do objeto. E que a gente já tem uma expressão que relaciona altura do objeto em relação ao solo com sua velocidade máxima (velocidade inicial) que era

h = v ∆ y g + 0,05   m

Então, queremos descobrir v para que h = 8   c m = 0,08   m . Isolando v :

v = h - 0,05 ∆ y g

Substituindo os dados

v = 0,08 - 0,05 0,03 9,81

v = 0,54   m / s = 54   c m / s

Obs: ficamos diferentes do gabarito nessa parte, mas estamos certinhos, beleza?

Resposta

a h = 6.7   c m

b t = 0.26   s

c v = 54   c m / s

No nosso movimento a mola não fica frouxa em nenhum momento porque h < 8   c m

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