Enunciado

A posição de um esquilo correndo em um parque é dada por 0,280   m / s t +   0,0360 m / s 2 t 2 i → + 0,0190   m / s 3 t 3 j → . (a) Quais são v x ( t ) e v y ( t ) , os componentes x e y da velocidade do esquilo, em função do tempo? (b) Para t = 5,00   s , a que distância o esquilo está de sua posição inicial? (c) Para t = 5,00   s , qual é o módulo e a direção da velocidade do esquilo?

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos deu um vetor posição 0,280   m / s t +   0,0360 m / s 2 t 2 i → + 0,0190   m / s 3 t 3 j → e pediu pra gente determinar as componentes v x ( t ) e v y ( t ) da velocidade em função do tempo, assim como, a distância percorrida depois de 5 segundos e o módulo e a direção da velocidade do esquilo.

Nós sabemos que a velocidade é a derivada da posição, então as componentes na direção x e y vão ser dadas por:

v x = d x d t

E

v y = d y d t

Além disso, a magnitude do vetor será dada por:

v = v x 2 + v y 2

Com essas informações, basta calcular a derivada da nossa função e substituir os valores de t que ele nos deu.

Vamos lá!

Passo 2

Letra a:

Para calcular a derivada de x em relação a t , vamos derivar apenas a componente 0,280   m / s t +   0,0360 m / s 2 t 2 i → do vetor. Assim, temos:

v x ( t ) = 0 , 280 m / s + 0 , 0720 m / s 2

Agora derivando a componente de y , 0,0190   m / s 3 t 3 j → , em relação a t , vamos ter:

v y t = 0 , 0570   m / s 3 t 2

Passo 3

Letra b:

Agora para calcular a que distância o esquilo está de sua posição inicial para t = 5   s , vamos substituir esse valor na equação da posição. Assim, temos:

x = 0,280   m / s t +   0,0360 m / s 2 t 2

x = 0,280   m / s ∙ 5 +   0,0360 m / s 2 ∙ 5 2

x = 2,30   m

E

y = 0,0190   m / s 3 t 3

y = 0,0190   m / s 3 ∙ 5 3

y = 2,375   m

Então, calculando o módulo do vetor posição com essas componentes, vamos ter:

r = x 2 + y 2

r = 2,30 2 + 2,375 2

r = 3,31   m

Passo 4

Letra c:

Agora vamos calcular para t = 5,00   s , o módulo e a direção da velocidade do esquilo. Pra isso, vamos derivar o nosso vetor posição para obter:

v → = 0.280 m / s + 0.0720 m / s 2 i → + 0 , 0570   m / s 3 t 2 j →

Então, substituindo t = 5 , 00   s , vamos ter:

v x = + 0 , 64   m / s  

v y = 1 , 425   m / s

Calculando o módulo dessa velocidade, usando essas componentes, obtemos:

v = 0,64 2 + 1,425 2

v = 1,56   m / s

E a direção será dada por:

tan ⁡ θ = v y v x

tan ⁡ θ = 1.425 064

Logo,

θ = 65 , 8 ∘

Então, a direção é θ = 65 , 8 ∘ (sentido anti horário do eixo + x ).

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

  1. v x t = 0.280 m s + 0.0720 m s 2
  2. v y t = 0.0570 m s 3 r 2

  3. r = 3.31 m
  4. θ = 65.8 ∘
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