Enunciado

A posição de uma partícula é dada por x = 2.5 c o s π t , com x em metros e t em segundos. (a) Determine a rapidez máxima e a aceleração máxima da partícula. (b)Determine a rapidez e a aceleração da partícula quando x = 1,5   m .

Passo 1

Essa questão pede informações sobre a velocidade e a aceleração da partícula, e nos dá a função posição:

x = 2.5   c o s   π t

Agora vamos lembrar que a derivada da função posição em relação ao tempo é a velocidade e a derivada da velocidade é a aceleração. Então derivando x usando a regra da cadeia, temos

v = d x d t = - 2.5 π   s e n π t

E derivando isso, temos a expressão da aceleração

a = d v d t = - 2.5 π 2   c o s π t

Com isso em mente, vamos entrar nos itens!

Passo 2

a) Queremos a velocidade máxima e a aceleração máxima.

A velocidade máxima vai ser quando v for máximo. Como nossa função tem um menos na frente, isso acontece quando o seno é mínimo. O menor valor que o seno pode atingir é - 1 , então vamos substituir s e n π t = - 1 a nossa expressão da velocidade

v = - 2.5 π   s e n π t

v = - 2.5 π - 1

v m a x = 2.5 π

v m a x = 7.9   m / s

E a aceleração máxima vai ser quando v for máximo. Como nossa função tem um menos na frente, isso acontece quando o cosseno é mínimo. O menor valor que o cosseno pode atingir é - 1 , então vamos substituir c o s π t = - 1 a nossa expressão da aceleração

a = - 2.5 π 2   c o s π t

a = - 2.5 π 2   - 1

a m a x = 2.5 π 2

a m a x = 25   m / s 2

E a letra (a) está respondida.

Passo 3

Queremos a velocidade e a aceleração quando x = 1,5   m .

Na letra (b), vamos precisar encontrar o valor de t que equivale a x = 1,5   m   usando a equação do movimento, e então substituir nas equações de velocidade e aceleração:

x = 2.5 c o s π t

c o s π t = x 2.5

t = arccos ⁡ x 2.5 π

Substituindo o valor de x = 1,5   m , podemos achar um instante t fazendo

t = arccos ⁡ 1.5 2.5 π = 0.29   s

E agora substituindo t nas equações de velocidade e aceleração que achamos no passo 1

v = - 2.5 π   s e n 0.29   π = - 6.3   m / s

v = 6.3   m / s

Aqui a gente deixa em módulo a resposta, porque a partícula vai passar nesse ponto mais de uma vez (aquela expressão de onde a gente achou t tem vários t como resposta, a gente só pegou um) Nesses vários instantes os sinais da velocidade mudam, mas o módulo não.

Então a gente podemos afirmar que certamente esse é módulo da velocidade quando estamos em x = 1,5   m .

Passo 4

Só falta substituir t = 0,29   s na expressão da aceleração:

a = - 2.5 π 2   c o s 0.29   π = - 15   m / s 2

Aqui a gente deixa o sinal negativo mesmo, pois a aceleração tem sempre sinal contrário ao sinal da posição no MHS. Como a nossa posição é positiva, a aceleração é negativa.

Resposta

( a ) v m a x = 7.9   m / s

a m a x = 25   m / s 2

( b ) v = 6.3   m / s

a = - 15   m / s 2

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