Enunciado

(a) Se a posição de uma partícula é dada por x = 20 t - 5 t 3 ,onde x está em metros e t em segundos, em que instante(s) a velocidadeda partícula é zero? (b) Em que instante(s) a aceleraçãoa é zero? (c) Para que intervalo de tempo (positivo ou negativo) a aceleração a   é negativa? (d) Para que intervalo de tempo (positivo ou negativo) a aceleração a   é positiva? (e) Desenhe os gráficos de x ( t ) , v ( t ) e a ( t ) .

Passo 1

Belezera pessoal, temos que lembrar que a velocidade é a derivada da posição e que a aceleração é a derivada da velocidade! Então dada a equação da posição:

x t = 20 t - 5 t 3

A velocidade será:

v t = x ' t

v t = 20 - 15 t 2

Enquanto a aceleração será:

a t = v ' t = x ' ' t

a t = - 30 t

Agora, basta igualar as equações a zero e encontrar os valores de t que satisfazem as equações.

v t = 0

20 - 15 t 2 = 0

t = ± 20 15

Logo:

t = 1,15   s

E da mesma maneira:

a t = 0

- 30 t = 0

t = 0   s

Passo 2

Vamos fazer um estudo do sinal da aceleração?

a < 0

- 30 t < 0

Para resolver essa desigualdade vamos dividir dos dois lados por - 30 . lembrando que quando dividimos ou multiplicamos uma desigualdade por um número negativo ela é invertida, não se esqueça disso!

- 30 t < 0 → - 30 t - 30 > 0 - 30 → t > 0

Vamos fazer o mesmo para quando a aceleração é positiva:

a > 0 → - 30 t > 0 → - 30 t - 30 < 0 - 30 → t < 0

Então a aceleração é negativa quando t > 0 e é positiva quando t < 0 .

Passo 3

Em verde temos o gráfico x ( t ) , em roxo o gráfico de v ( t ) e em azul o gráfico de a t .

Resposta

a) 1,15   s

b) 0   s

c) negativa quando t > 0

d) positiva quando t < 0

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