Enunciado

A posição de uma partícula que se move ao longo do eixo y é dada por

y   =   ( 2,0   c m )   s e n   ( π t / 4 ) ,

em que y está em centímetros e t está em segundos. (a) Qual é a velocidade média da partícula entre os instantes t = 0 e t = 2,0 s? (b) Qual é a velocidade instantânea da partícula nos instantes t = 0, t = 1,0 s e t = 2,0 s? (c) Qual é a aceleração instantânea da partícula entre os instantes t = 0 e t = 2,0 s? (d) Qual é a aceleração instantânea da partícula nos instantes t = 0, t = 1,0 s e t = 2,0 s?

Passo 1

(a) A velocidade média pode ser calculada pela equação:

v m = y ( 2 ) - y ( 0 ) t - t 0

Onde substituímos os t dados para calcularmos no intervalo pedido.

Como o tempo inicial é zero:

v m = y ( 2 ) - y ( 0 ) t

Substituindo as equações de y para cada t:

v m = ( 2,0   c m )   s e n   ( 2 π / 4 ) , - 0 2,0 s = 1,0   c m / s

Passo 2

(b) Para calcularmos a velocidade instantânea da partícula, vamos precisar derivar a equação de movimento em relação ao tempo para obtermos a equação da velocidade, e então substituímos cada instante dado para encontrarmos os valores das velocidades correspondentes:

v = d y d t = π 2   c m / s     c o s   ( π t / 4 )

Substituindo os instantes t = 0 , t = 1,0   s e t = 2,0   s :

v 0 = π 2   c m / s c o s   0 = π 2   c m / s

v 1 = π 2   c m / s c o s   π / 4 = π 2 4   c m / s

v 2 = π 2   c m / s c o s   π / 2 = 0

Passo 3

(c) A aceleração média da partícula pode ser calculada utilizando o mesmo racicionio para a velocidade média, mas utilizando as equações das velocidades:

a m = v 2 - v ( 0 ) t

Substituindo os resultados obtidos no Passo 2 para os valores das velocidades nos instantes pedidos:

a m = 0 - π 2   c m / s 2,0   s = - π 4   c m / s 2

Passo 4

(d) Para a aceleração instantânea, precisaremos derivar a equação da velocidade em relação ao tempo para obtermos a equação da aceleração, depois substituímos cada instante pedido pelo enunciado na equação da aceleração:

a = d v d t = - π 8   c m / s 2 s e n ( π t / 4 )

Substituindo os instantes t = 0 , t = 1,0   s e t = 2,0   s na equação:

a 0 = - π 2 8   c m / s 2 s e n 0 = 0

a 1 = - π 2 8   c m / s 2 s e n ( π / 4 ) = - π 2 2 16   c m / s 2

a 2 = - π 2 8   c m / s 2 s e n ( π / 2 ) = - π 2 8   c m / s 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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