Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler - Capítulo 12.1 - Ex. 19

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desse livro

Uma prancha gravitacional é uma maneira conveniente e rápida de se determinar a localização do centro de gravidade de uma pessoa. Ela consiste em uma prancha horizontal suportada por um fulcro em uma extremidade e uma balança de mola na outra. Para uma demonstração em aula, seu professor de física pede que você deite sobre a prancha com o topo de sua cabeça extremamente sobre o fulcro, como mostrado na Figura 12-33. O fulcro está a 2,00   da balança. Preparando este experimento, você se pesou previamente, com precisão, e verificou que sua massa é de 70   k g . Quando você está sobre a prancha gravitacional, o ponteiro da balança adianta 250   N além do ponto que indicava quando só a prancha estava sobre ela. Use estes dados para representar a localização de seu centro de massa em relação a seus pés.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Ele pede para acharmos o centro de massa da pessoa que está deitada. Podemos pensar que a pessoa e a prancha gravitacional formam um corpo rígido que está apoiado em suas duas extremidades, uma pelo fulcro e outra pela balança.

Ambos os apoios geram reações nesse corpo rígido, que podemos considerar que estão orientadas para cima. E podemos entender que esse corpo rígido sofre ação da força peso da pessoa.

Nessas questões com forças e reações é importante fazer um diagrama de corpo livre do sistema. Então vamos fazer o nosso! Nas extremidades temos as forças de reação. E temos a força peso. Mas onde essa força é exercida? No centro de massa da pessoa! Temos o diagrama:

Percebe que a gente posicionou a força peso em uma posição genérica x , isso porque ela está no centro de massa do corpo, e a gente não sabe ainda onde ele está.

Como nessa situação tudo está paradinho, a gente pode usar as equações de equilíbrio

∑ F → = 0

∑ τ → = 0

Para achar o valor de x . Vamos lá!

Passo 2

Vamos reunir nossos dados. O enunciado diz que a massa da pessoa é de 70 k g . Então a força peso é

P = m g

P = 70 9,81

E ele disse que depois que a pessoa está sobre a prancha, a balança registra 250   N . Isso é um jeito criativo de dizer que no apoio representado pela balança a força vale 250   N

F B = 250   N

Então, olhando para o nosso diagrama, quais são as nossas incógnitas? É a posição do centroide x e o valor da força no apoio da esquerda F A .

Mas a gente só quer x , né? Então a gente pode usar a equação de equilíbrio do Torque.

Se a gente calcular o Torque resultante na extremidade esquerda do corpo, nós podemos desconsiderar a força F A porque ela não gera momento nesse ponto, já que é onde ela está aplicada.

Passo 3

Aplicando ∑ τ → = 0 , considerando o sentido anti-horário positivo, temos:

F B 2 - P x = 0

Vamos entender essa equação. F B 2 é o torque gerado pela força F B , como ele tende a girar a peça no sentido anti-horário, ele fica positivo. E a distância entre o ponto onde queremos o torque (a extremidade esquerda) e linha de ação da força é 2 , por isso aparece aquele 2.

- P x é o torque gerado por P . Essa força tende a gerar o elemento no sentido horário, por isso fica negativa. E a distância do ponto de aplicação da força até a extremidade esquerda do corpo é x .

Isolando x , quem a gente queria encontrar, temos

x = 2 F B P

Substituindo os valores, temos:

x = ( 2 ) ( 250 ) ( 70 ) ( 9,81 )

x = 0,728   m

Resposta

x = 0,728   m

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