Enunciado

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Um cilindro oco tem massa m , raio externo R 2 e raio interno R 1 . Use integração para mostrar que o momento de inércia em relação a seu eixo é dado por I = 1 2 m ( R 2 2 + R 1 2 ) . Dica: reveja a seção 9-3, onde é calculado o momento de inércia de um cilindro maciço por integração direta.

Passo 1

Oláaa, cê está bem? Ele quer o momento de inércia de um cilindro maciço.

Como o enunciado diz, já sabemos que vamos precisar integrar pra achar o momento de inércia. Para fazer isso, a gente precisa montar essa integral:

I = ∫ r 2 d m

Onde r é a distância entre o eixo, em relação ao qual a gente quer o momento de inércia, e um elemento que pertence ao nosso sólido (o cilindro oco).

Como assim “elemento”? Cara, é um pedacinho do nosso sólido. Aí esse pedacinho tem uma massa bem pequena d m . A ideia é que a gente precisa reescrver d m em função de r e d r .

Aí dá para calcular a integral. Bora lá!

Passo 2

Primeiro a gente precisa decidir quem vai ser o elemento. A gente pode pensar em um anel bem fino, de expessura d r (essa é a notação para um pedaço bem pequeno de r , essa é a expessura do anel, bem fina), altura h e raio r :

O que a gente faz normalmente para reescrever d m é usar a massa espefícifica do sólido. Aquela dada pela fórmulinha:

ρ = m V → m = ρ V

Aí, se temos uma massa d m , ela pode ser escrita como

d m = ρ   d V

Onde d V é o volume do elemento.

Então a integral fica:

I = ∫ r 2 d m

I = ∫ r 2 ρ d V

Passo 3

Aí temos que escrever d V em função de r e d r . Podemos usar derivadas. Como? Um cilindro de raio r e altura h tem volume

V = π r 2 h

Para achar esse d V , a gente deriva esse cara em relação a r , usando a regrinha de derivar polinômios:

d V d r = 2 π r h

E isola d V :

d V = 2 π r h   d r

Achamos! Aí é substituir na integral:

I = ∫ r 2 ρ d V

I = ∫ r 2 ρ 2 π r h   d r

I = ∫ r 3 ρ 2 π h   d r

Passo 4

Para integrar, só faltar saber os extremos de integração. r é a distância do eixo até o sólido. Então o menor valor de r que encontra nosso sólido é R 1 (raio interno do cilindro) e o maior valor de r é R 2 (raio externo do cilindro). Então nós teremos como extremos de integração:

R 1 < r < R 2

Substituindo isso na nossa integral:

I = ∫ r 3 ρ 2 π h   d r

Tirando o que é não está em função de r de dentro dela:

I = 2 π ρ h ∫ R 1 R 2 r 3 d r

Calculando pela regrinha de polinômios:

I = 2 π ρ h R 2 4 - R 1 4 4

Esse é um produto notável do tipo a 4 - b 4 = a 2 - b 2 a 2 + b 2 . Então vamos reescrever:

I = π ρ h R 2 2 - R 1 2 R 2 2 + R 1 2 2

Passo 5

Agora a gente deixa isso com a cara da expressão do enunciado. Como?

A gente pode escrever a massa do cilindro todo como

ρ = m V → m = ρ V

E o volume do cilindro oco é calculado como:

V = π h ( R 2 2 - R 1 2

Então a massa fica

m = π ρ h ( R 2 2 - R 1 2 )

Isolando ρ :

ρ = m π h R 2 2 - R 1 2

Substituindo isso na expressão do I :

I = π ρ h R 2 2 - R 1 2 R 2 2 + R 1 2 2

I = 1 2 π m π h R 2 2 - R 1 2 h R 2 2 - R 1 2 R 2 2 + R 1 2

I = 1 2 m R 2 2 + R 1 2

Resposta

I = 1 2 m R 2 2 + R 1 2