Enunciado

54. Quando a pressão p de um material cresce de Δ p , o volume do material varia de V para V + Δ V , onde Δ V é negativo. O módulo de compressão B do material é definido como a razão entre a variação da pressão Δ p e o móduloda variação relativa de volume Δ V / V . Quanto maior for o módulo de compressão, maior será o aumento da pressão necessária para obter uma dada variação relativa de volume e mais incompressível é o material (veja a Seção 11.4 , no volume 1 ). Como Δ V < 0 , o módulo de compressão pode ser escrito como B = - Δ p / ( Δ V / V 0 ) . No limite, para variações muito pequenas de volume é de pressão a relação anterior é escrita na forma

B = - V d p d V

a ) Use o resultado do Problema 42.5 3 para mostrar que o módulo de compressão para um sistema de N elétrons em um volume V a baixas temperaturas é dado por B = 5 3 p . (Sugestão: a grandeza p na expressão B = - V ( d p / d V ) é a pressão externa ao sistema. Você é capaz de explicar por que ela é igual à pressão interna do sistema, como encontrado no Problema 42 . 53 ?) b ) Calcule o módulo de compressão para o cobre, que possui uma concentração de elétrons livres igual a 8,45 ⋅ 10 28   m - 3 . Expresse seu resultado em pascals. c ) O módulo de compressão real do cobre é igual a 1,4 ⋅ 10 11   P a . Com base no seu resultado do item ( b ) , a contribuição dos elétrons livres do cobre corresponde a que fração desse módulo de compressão? (O resultado mostra que os elétrons livres do metal desempenham papel fundamental na resistência do material a uma compressão.) Que grandeza você imagina ser responsável pela fração restante do módulo de compressão?

Passo 1

Fala galera! Então, para começarmos esse problema temos que usar o resultado do problema anterior que é:

p = 3 2 / 3 π 4 / 3 ℏ 2 5 m N V 5 / 3

Tendo isso vamos calcular a derivada d p / d V e depois substituir na expressão de B , assim encontramos o que o item ( a ) quer:

Agora para o item ( b ) basta pegarmos a expressão que encontramos para B e calcular seu valor sabendo que N / V = 8 , 45 ⋅ 10 28   m - 3 .

Depois para o item ( c ) basta fazer a razão do valor que encontramos em ( b ) com o que é dado no enunciado e ver de quanto é a contribuição dos elétrons.

Passo 2

Vamos então encontrar a expressão para B , temos que:

p = 3 2 / 3 π 4 / 3 ℏ 2 5 m N V 5 / 3

Agora vamos fazer d p / d V .

d p d V = d d V 3 2 / 3 π 4 / 3 ℏ 2 5 m N V 5 / 3

= 3 2 / 3 π 4 / 3 ℏ 2 N 5 / 3 5 m d d V 1 V 5 / 3

Então temos que:

d p d V = 3 2 / 3 π 4 / 3 ℏ 2 N 5 / 3 5 m - 5 3 V - 8 / 3

= 3 2 / 3 π 4 / 3 ℏ 2 N 5 / 3 5 m N V 5 / 3 5 3 V

Assim temos que:

d p d V = - p 5 3 V

Logo ficamos com:

B = - V - p 5 3 V

⇒ B = 5 3 p

Passo 3

Agora para o item ( b ) vamos calcular B sabendo que N / V = 8 , 45 ⋅ 10 28   m - 3 , assim:

B = 5 3 p

= 3 - 1 / 3 π 4 / 3 ℏ 2 m N V 5 / 3

Substituindo o que sabemos, temos:

B = 3 - 1 / 3 π 4 / 3 ( 1,054 ⋅ 10 - 34 ) 2 9,109 ⋅ 10 - 31 8 , 45 ⋅ 10 28 5 / 3

= 3,54 ⋅ 10 - 68 9,109 ⋅ 10 - 31 ( 1627,15 ⋅ 10 45 )

Então temos que:

B = 6,32 ⋅ 10 10   P a

Passo 4

Agora para o item ( c ) vamos fazer a razão do resultado que encontramos no passo anterior com o que é fornecido pelo enunciado, temos que:

6,32 ⋅ 10 10 1,4 ⋅ 10 11 = 0,45

Então essa parte da contribuição dos elétrons o restante dessa fração vem dos próprios íons de cobre.

Resposta

( a )

B = 5 3 p

( b )

B = 6,32 ⋅ 10 10   P a

( c )

A fração de contribuição dos elétrons é 0,45 .

O restante dessa fração vem dos próprios íons de cobre.

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