No problema anterior, substituímos a folha de ouro por uma folha de cobre de densidade 8,9   g / c m 3 , peso atômico 63,6 e espessura 1,0 ⋅ 10 - 5   c m . Quando θ = 10 ° obtemos 820 contagens por hora. Qual é o número atômico do cobre:

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

A fórmula de seção de choque diferencial dada pela equação (4-9) do livro é

d σ d Ω = 1 4 π ϵ 0 ⋅ z Z e 2 2 M v 2 2 ⋅ 1 s e n 4 θ 2

Podemos escrever M v 2 = 2 K , onde K é a energia cinética das partículas α :

d σ d Ω = 1 4 π ϵ 0 ⋅ z Z e 2 K 2 ⋅ 1 16   s e n 4 θ 2

Vamos chamar o termo entre parênteses de x , de modo que

d σ d Ω = x 2 16 ⋅ 1 s e n 4 θ 2 ,           x = 1 4 π ϵ 0 ⋅ z Z e 2 K

Passo 2

Para achar o número N de partículas que atinge o contador, temos que considerar

d N = d σ d Ω   I   n   d Ω

Assim, podemos escrever:

d N = x 2 16 ⋅ 1 s e n 4 θ 2 ⋅ I   n ⋅ d Ω

Vale lembrar que I = 10 4   p a r t i c u l a s / s é a taxa com que as partículas incidem e n = ρ t , onde ρ é a densidade de átomos de cobre por volume e t = 10 - 7   m é a espessura da folha. Para achar ρ , dividimos a densidade 8,9 ⋅ 10 3   k g / m 3 do cobre pela massa molar 0 , 0636   k g / m o l e multiplicamos pelo número de Avogadro:

ρ = 8900 k g m 3 ⋅ m o l 0 , 0636   k g ⋅ 6,02 ⋅ 10 23   a t o m o s m o l

Assim,

ρ = 8,4 ⋅ 10 28 1 m 3 → n = ρ t = 8,4 ⋅ 10 28 m 3 ⋅ 10 - 7 m = 8,4 ⋅ 10 21   m - 2

Para estimar d Ω , podemos dividir a área A = 1,0   c m 2 por r 2 , com r = 10   c m sendo a distância da folha de ouro ao contador:

d Ω = A r 2 = 1,0 100 = 10 - 2

Desta forma, podemos escrever

N ≈ d N ≈ x 2 16 ⋅ 1 s e n 4 θ 2 ⋅ 10 4 p a r t i c u l a s s ⋅ 8,4 ⋅ 10 21   m - 2 ⋅ 10 - 2

Substituindo θ = 10 ° :

N ≈ x 2 ⋅ 9,1 ⋅ 10 26 p a r t i c u l a s s   m - 2

Considerando que

N = 820 p a r t i c u l a s h = 820 3600 p a r t i c u l a s s ,

podemos escrever

820 3600 = x 2 ⋅ 9,1 ⋅ 10 26   m - 2

Assim,

x 2 = 820 3600 ⋅ 9,1 ⋅ 10 26   m 2

Portanto,

x = 1,58 ⋅ 10 - 14   m

Passo 3

Agora, podemos voltar para a relação

x = k 0 ⋅ z Z e 2 K → Z = x k 0 z e K e

Portanto,

Z = 1,58 ⋅ 10 - 14 9 ⋅ 10 9 ⋅ 2 ⋅ 1,6 ⋅ 10 - 19 ⋅ 5,3 ⋅ 10 6

Fazendo as contas:

Z ≈ 29,1

Bate bonitinho!

Resposta

Z ≈ 29,1

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