Suponha que o momento angular da Terra (de massa 6,0 ⋅ 10 24   k g ) devido a seu movimento em torno do Sol (órbita de raio = 1,5 ⋅ 10 11   m ) seja quantizada segundo a relação de Bohr L = n ℏ . Qual é o valor do número quântico n ? Poderíamos detectar tal quantização?

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Primeiro temos que calcular o momento angular orbital da Terra usando física clássica!

O momento angular é dado por

L = m r v

Já a velocidade é dada por

v = 2 π r T ,           T = 365   d i a s

As equações acima são do movimento circular uniforme que você deve estar bem acostumado a trabalhar. Com isso, temos

L = m r ⋅ 2 π r T → L = 2 π m r 2 T

Substituindo T = 365 ⋅ 24 ⋅ 3600   s , r = 1,5 ⋅ 10 11   m e m = 6,0 ⋅ 10 24   k g :

L = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 6 ⋅ 10 24 ⋅ 1,5 ⋅ 10 11 2 365 ⋅ 24 ⋅ 3600 = 2,688 ⋅ 10 40   k g   m 2 / s 2

Passo 2

A constante de Planck reduzida é dada por

ℏ = h 2 π = 6,626 ⋅ 10 - 34 6,28 = 1,055 ⋅ 10 - 34   J   s

Assim, igualando L = n ℏ , achamos

n = L ℏ = 2,688 ⋅ 10 40 1,055 ⋅ 10 - 34 = 2,548 ⋅ 10 74

Observe que se trata de um valor absurdamente alta para n . Pelo princípio da correspondência, no limite de n grande devemos retomar os resultados clássicos e a quantização deixa de ser perceptível. É exatamente isso que ocorrer para o movimento da Terra em torno do Sol: ele é puramente clássico, está bem longe (bem longe mesmo) do limite quântico!

Resposta

n = 2,548 ⋅ 10 74

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